第二章随机变量及其分布。
教学基本要求。
1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；
2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；
3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；
4、会求简单随机变量函数的分布。
习题解答。a组。
1、检查两个产品，用表示合格品，表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为。
以表示两个产品中的合格品数。
1) 写出与样本点之间的对应关系；
2) 若此产品的合格品率为，求？
解：(1)、、
2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？
解：(1) 显然是单调不减函数；，且、；，故是某个随机变量的分布函数。
2) 由于，故不是某个随机变量的分布函数。
3、设的分布函数为。
求常数及？解：由和得。
4、设随机变量的分布函数为。
求常数及？解：由得。
5、设随机变量的分布列为。
求常数？解：由得。
6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？
解：设表示5个产品中的次品数，则是离散型随机变量，其所有可能取值为，且。
于是的分布列为。
7、设10件产品中有2件次品，进行连续无放回抽样，直至取到**为止，以表示抽样次数，求。
1)的分布列；
2)的分布函数？
解：(1) 由题意知是离散型随机变量，其所有可能取值为，且。
于是的分布列为。
2) 由(1)可知的分布函数为。
8、设随机变量的分布函数为。
求的分布列？
解：的分布列为。
9、某大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每一设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻。
1) 恰有2个设备被使用的概率；
2) 至少有3个设备被使用的概率；
3) 至多有3个设备被使用的概率？
解：设表示被同时使用的供水设备数，则。
1) 恰有2个设备被使用的概率为。
2) 至少有3个设备被使用的概率为。
3) 至多有3个设备被使用的概率为。
10、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%，如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？
解：设表示预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则，由于“顾客来到餐厅没有座位”等价于“52位顾客中至多有1位不来就餐”，于是所求概率为。
11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，求。
1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率；
2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率？
解：设表示该城市一周内发生交通事故的次数，则。
1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率。
2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率。
12、设服从泊松分布，已知，求？
解：由得。13、一批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：
1) 用二项分布作精确计算；
2) 用泊松分布作的似计算？
解：设表示抽取的40件产品中的不合格品数，则。
1) 拒收的概率为。
2) 由于，于是拒收的概率为。
14、设随机变量的密度函数为。
求的分布函数？
解：由得。当时。
当时。当时。
于是所求分布函数为。
15、设随机变量的密度函数为。
求的分布函数？
解：由得。当时。
当时。当时。
于是所求分布函数为。
16、设随机变量的密度函数为。
求(1) 常数；(2)的分布函数；(3)？
解：(1) 由得。
2) 当时。
当时。当时。
于是所求分布函数为。
17、设随机变量的分布函数为。
求(1)、、2)的密度函数？
解：(1)
2) 由于在的可导点处，有，于是的密度函数为。
18、设，求方程有实根的概率？
解：由得的密度函数为。
又由于方程有实根等价于，即，于是方程有实根的概率为。
19、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间(单位：分钟)服从参数为的指数分布，求下述事件的概率。
1)至多3分钟；
2)至少4分钟；
3)在3分钟至4分钟之间；
4)恰为3分钟？
解：(1)至多3分钟的概率为。
2)至少4分钟的概率为。
3)在3分钟至4分钟之间的概率为。
4)恰为3分钟的概率为。
20、设，求下列事件的概率；；？
解：；21、设，(1) 求、、；2) 确定，使得；(3) 若满足，则至多为多少？
解：(1)
2) 由得。
3) 由得。
22、从甲地飞住乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间服从均值为，标准差为的正态分布。
1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率；
2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率；
3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率？
解：(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率为。
2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率为。
3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率为。
23、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似地服从，已知96分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率？
解：设考生的外语成绩为，则。
由96分以上的人数占总数的2.3%得。
于是，考生的成绩在60分至84分之间的概率为。
24、设随机变量的分布列为。
求的分布列？
解：由的分布列可得。
于是的分布列为
25、设随机变量的分布列为。
求的分布列？
解：由的分布列可得。
将相同值合并得的分布列为
26、设随机变量的密度函数为。
求随机变量的密度函数？
解：由题意知，当时，有。
当时，有。当时，有。
即的分布函数。
于是，的密度函数。
27、设随机变量，求随机变量的密度函数？
解：由题意知，当时，有。
当时，有。当时，有。
即的分布函数。
于是，的密度函数。
28、随机变量的密度函数为。
求随机变量的密度函数？
解：由于，故当时，有；
当时，有。即的分布函数。
于是，的密度函数。
29、设随机变量，试求随机变量的密度函数？
解：由于，故当时，有；
当时，有。即的分布函数。
于是，的密度函数。
b组。1、a 2、b 3、d 4、b 5、b
6、b 7、c 8、c 9、c 10、c
11、设随机变量的分布函数为。
且，求常数、？
解：由及得。
12、设随机变量的分布列为。
求常数？解：由得。
再由，可得。
13、口袋中有5个球，编号为，从中任取3个，以表示取出的3个球中的最大号码。
1) 求的分布列；
2) 求的分布函数？
解：(1) 由题意知是离散型随机变量，其所有可能取值为，且。
于是的分布列为。
2) 由(1)可知的分布函数为。
14、设随机变量的密度函数为。
求(1) 常数；(2)的分布函数；(3)？
解：(1) 由得。
2) 当时。
当时。于是；
15、设随机变量的密度函数为。
以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，求？
解：由题意知：事件在一次观察**现的概率为。
且，于是。16、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位：分钟)服从指数分布，其密度函数为。
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求？
解：由题意知：顾客在窗口等待服务的时间超过10分钟的概率为。
且，于是。17、设随机变量且，求？
解：由得。18、设随机变量的分布函数为，试求随机变量的密度函数？
解：由于，故当时，有；
当时，有。当时，有。
即的分布函数。
于是，的密度函数。
即随机变量服从区间上的均匀分布。
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