第一章。
思考题。1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？
2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活。 ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的。因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？
为什么？
．圆周率是一个无限不循环小数， 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位， 这个记录保持了1000多年！ 以后有人不断把它算得更精确。 2023年， 英国学者沈克士公布了一个的数值， 它的数目在小数点后一共有707位之多！
但几十年后， 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑。 他统计了的608位小数， 得到了下表：
你能说出他产生怀疑的理由吗？
答：因为是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小。这就是费林产生怀疑的理由。
4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？
．两事件a、b相互独立与a、b互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？
．条件概率是否是概率？为什么？
习题一。1．写出下列试验下的样本空间：
1）将一枚硬币抛掷两次。
答：样本空间由如下4个样本点组成。
2）将两枚骰子抛掷一次。
答：样本空间由如下36个样本点组成
3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出。
答：结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数。这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .
2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：
1) “甲未中靶。
2) “甲中靶而乙未中靶。
3) “三人中只有丙未中靶”：
4) “三人中恰好有一人中靶”：
5)“ 三人中至少有一人中靶”：
6)“三人中至少有一人未中靶”： 或。
7)“三人中恰有两人中靶”：
8)“三人中至少两人中靶”：
9)“三人均未中靶。
10)“三人中至多一人中靶”：
11)“三人中至多两人中靶”： 或。
3 .设是两随机事件，化简事件。
解：(1),2) .
4．某城市的**号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求**号码由五个不同数字组成的概率。
解：.5．张奖券中含有张有奖的，个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
解法一：试验可模拟为个红球，个白球，编上号，从中任取k个构成一组，则。
总数为，而全为白球的取法有种，故所求概率为。
解法二：令—第i人中奖， b—无一人中奖，则，注意到。
不独立也不互斥：由乘法公式。
6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件a）的概率是多少？
解： 7．在上任取一点，求该点到原点的距离不超过的概率。
解：此为几何概率问题：,所求事件占有区间 ，从而所求概率为。
8．在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。
解：设一段长为，另一段长为，样本空间，所求事件满足：
从而所求概率＝.
9．从区间内任取两个数，求这两个数的乘积小于的概率。
解：设所取两数为样本空间占有区域，
两数之积小于：,故所求概率。
而，故所求概率为。
10．设、为两个事件，，，求。
解：;11．设、为两个事件，，，求。
解：.12．假设，，若、互不相容，求；若、
相互独立，求。
解：若、互不相容，；
若、相互独立，则由可得=0.5
13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率。
解：设，则，又设则，根据题意（其中两两互不相容）
故=0.01+0.02+0.03=0.06
所以。即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.94
14．某市有50%住户订**，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少。
订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
解： 设， =则， ，已知，所以。
即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%
15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得**的概率。
解：设， ，则。
第二次才取得**}，又因为，则。
16.设随机变量、、两两独立，与互不相容。 已知。
且，求。解：依题意且，因此有。 又因。解方程。
17．设是小概率事件，即是给定的无论怎么小的正数。试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件迟早总会发生（以概率1发生）.
解：设事件—第次试验**现，∵，次试验中，至少出现一次的概率为。
独立性），证毕。
18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是，，，求此密码被译。
出的概率。
解：设a，b，c分别表示，d表示，则。
19．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件的可靠度为，各元件正常工作或失效相互独立。
解：(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为，从而所求概率为；
2）同理得。
20．三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概。
率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率。
解：设—第一第三台机器发生故障，—第一第三台机器发生故障，—第一第三台机。
器发生故障，—三台机器中至少有一台发生故障，则。
故。21．设、为两事件，, 求。 解：由得。
22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物， 它能活到25岁以上的概率是多少？
解：设—某种动物由出生算起活到20年以上，，—某种动物由出生。
算起活到25年以上，，则所求的概率为。
23．某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%，40年内。
发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年内发生特大洪水的概率。
解：设—某地区后30年内发生特大洪灾，，—某地区后40年内发生特大洪灾，，则所求的概率为。
24．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球。今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。
1）问取到白球的概率是多少？
2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？
解：、设a：取到白球，b：从甲球袋取白球。
25．一批产品共有10个**和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率。
解：设表示第次抽出次品， ,由全概率公式。
26.一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作500的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作500以上的概率。
解：设(=1,2,3) ，则。所以。
27．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.
85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率。如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率。
解：以bi分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，a=，则有：
所求概率为由全概率公式得：
28．用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90.
如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率。
解：设a=，b=.据题意有所求概率为。
由bayes公式得。
29．3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.
7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.
6；三人射中则必被击落。（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。
解：设a=，bi=，i=1,2,3. 则b1,b2,b3互不相容。由题意知：，由于3个射手射击是互相独立的，所以。
因为事件a能且只能与互不相容事件b1,b2,b3之一同时发生。于是。
1）由全概率公式得。
2）由bayes公式得
30．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求。
1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率。
解：——需经调试 ——不需调试 ——出厂。
则，，，1）由全概率公式：
2）由贝叶斯公式：.
31．进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是，求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率。
解：所求的概率为。
32．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第次才取次红。
球的概率。解：所求的概率为。
33．灯泡使用寿命在1000h以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000h后，最多只有。
一个坏了的概率。
解：由二项概率公式所求概率为。
34．（banach 问题）某人有两盒火柴，每盒各有根，吸烟时任取一盒，并从中任取一。
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习题解答。习题一。2 1 a2 若a b互不相容，则。3 事件a,b恰好有一个发生可表示为。4 由 2 知，12 次品率为5 则100件产品中有95件合格品和5件次品，13 15 设a 使用2000h还能正常工作，b 使用3000h还能正常工作。则。16 设 第i次能调试好，i 1,2,3，b 调3...
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