1. 证明不等式：
设是随机变量，则。
其中，式中等号成立的充要条件：当时是；当时是同号；当时是中至多有一个不为零。
证明：的情形：设是以概率分别取为值的随机变量，则。
利用不等式（取），则
对上式两端取数学期望得
在上式中等号成立的充要条件是，再由绝对值的性质知中等号成立的充要条件是。
的情形：只需证明不全为零的情形。由于。
先将上述不等式相加再两边取期望得
最后利用绝对值不等式即得式。
当时，由绝对值的性质知中等号成立的充要条件为同号。
当时，等号成立的充要条件为中最多有一个不为零。
2. 设，试问与是否互为充要条件，如果是**以证明，如果不是举出反例。
解：若，则。
证明：若。由可测函数积分性质的推论：若是上取非负值的可测函数，则对有，可知，即。
反之则不成立。
例：构造概率空间，其中，为中集全体组成的代数，为测度，令。
显然，但，不趋于。
则的充要条件是且一致连续。
证明：首先，若，则前面已证。
其次，知，由书中引理知，一致连续。故必要性得证。
现在证明充分性，已知， 一致连续，故任给，使得当时，，而由，存在，当时，，于是当时，即。
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