概率论与数理统计练习册。
复习题和自测题解答。
第一章复习题。
1、 一个工人生产了n个零件，以事件表示他生产的第i个零件是**（i＝1，2，3，……n），用表示下列事件：
1） 没有一个零件是次品；
2） 至少有一个零件是次品；
3） 仅仅只有一个零件是次品；
4） 至少有两个零件是次品。解：1）
2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解： 3、从数1，2，3，……n中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。
解：－第i次取到奇数（i＝1，2）；a－两次的和为偶数。
当n为奇数时：
当n为偶数时：
4、在正方形中任意取一点，求使方程有两个实根的概率。
解：5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：－第一次比赛时拿到i只新球（i＝1，2）
b－第二次比赛时拿到2只新球。
6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起。
1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；
2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。
解：－从第i台机床加工的零件中取（i＝1，2）
b－取一件合格品。
7、已知某种产品的**率是0.9，现使用一种检验方法，这种方法认**为合格品的概率是0.98，而误认废品为合格品的概率为0.
05，求用这种方法检验为合格的一件产品确是**的概率。
解：a－产品是合格品；b－产品被认为是合格品。
8、假设患肺癌的人中吸烟的占90％，不患肺癌的人中吸烟的占60％，假设患肺癌率为0.5％，求不吸烟的得肺癌的概率。
解：a－患上肺癌；b－吸烟者。
9、某型号的高射炮，每门命中敌机的概率为0.4，现若干门炮同时射击，欲以99％的把握击中敌机，问至少要配置几门高射炮？
解：由解得。
10、一居民区间有6部户用**，平均每小时每用户用6分钟，而且各用户是否用**是相互独立的。求（1）刚好有2户用**的概率；（2）至少有2户用**的概率；（3）最多有2户用**的概率。
解：a－用户使用**。
第一章自测题。
1、 设在一次实验中，事件a发生的概率为p，现进行n次独立重复试验，则a至少发生一次的概率是多少？事件a至多发生一次的概率是多少？
解： 2、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一箱，再从这个箱子中取出一球，求这个球为白球的概率。
若已知取出的一球为白球，此球属于第二个箱子的概率是多少？
解：－从第i个箱子里取球；b－取到白球。
3、设三次独立试验中，事件a出现的概率相等，若已知a至少出现一次的概率等于19/27，则事件a在一次实验**现的概率为多少？
解： 4、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：－有i件不合格品。
5、设工厂a和工厂b的次品率分别为1％和2％，现从由a和b的产品分别占60%he 40%的一批产品中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于a生产的概率是多少？
解：a－从a厂中取；b－从b厂中取；c－取到次品。
6、假设一批产品中。
一、二、三等品各占60％，30％，10％，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是多少？
解：－取到i等品（i＝1，2，3）
7、设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为1/9，a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等，求p（a）。
解：由。得到。
8、一射手对同一目标独立的进行4次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率。
解：设命中率为p，则有。
9、设有来自三个地区的各10名，15名，和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。
1）求先抽到的一份是女生表的概率；
2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。
解：－取第i个地区；（i＝1，2）；b－第i份取到女生的报名表（i＝1，2，3）
10、设a、b、c两两独立，证明a、b、c相互独立的充要条件是a与bc独立。
证明： 11、一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件不合格的概率为，（i=1，2，3），以x表示3个零件中合格品的个数，求p（x＝2）.
解：－第i个零件合格。
12、甲袋中有2个白球1个黑球，乙袋中有1个白球2个黑球，从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋任取1球放入甲袋，求甲袋中仍是2个白球1个黑球的概率。
解：a－从甲袋中取白球；b－从乙袋中取白球。
架长机和2架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地非有无限电导航不可，而只有长机具有此项设备。一旦到达目的地，各机将独立进行轰炸，且轰炸目标的概率均为0.3。
在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空，此时任一飞机被击落的概率为0.2，求目标被炸毁的概率。
解：a－长机到达目的地；－有i台僚机到达目的地（i＝0，1，2）
c－目标被击毁。
而（i＝0，1，2）
第二章复习题。
1、 设随机变量相互独立且密度函数相同，均为。
y表示中取值大于的随机变量的个数，求。解：
2、向区间内随机投掷10个点，求区间（0.6，0.8）内至少有一个点的概率。
解：～第i个落点的坐标；y～落在指定区间的点的个数。
～u（0，1）；y～b（10，0.2）
3、设，且二次方程无实根的概率为0.5，求。
解：4、在电源电压不超过200伏、200～240伏、超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为.2，假设电源电压，求。
1）、该元件损坏的概率；
2）、该电子元件损坏时，电源电压在220～240伏的概率。
解： 1）a－元件被损坏。
5、假设一长家生产的每台仪器以概率0.70可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.
8可以出厂，以概率0.2定位不合格不能出厂。现该长生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求。
1）全部能出厂的概率；
2）其中恰有两件不能出厂的概率；
3）其中至少有两件不能出厂的概率。
解：a－产品为合格品；b－经调试后为合格品；c－产品可以出厂。
x－可以出厂的产品数量。
6、某地抽样结果表明，考生的外语成绩x（百分制）近似服从正态分布，96分以上占考生总数的2.3％，求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率。
解： 7、设随机变量x的概率密度为f(x)，求下列随机变量y的概率密度：
解：1）当y＝0时。
3）当时 当y＝0时。
8、假设随机变量x在(1,2)上服从记＝均匀分布，试求随机变量的概率密度。
解：， 当时。
当时。当时
9、假设随机变量x服从参数为2的指数分布，证明在区间(1,2),内服从均匀分布。
解：,即证。
10、设随机变量x的概率密度为，求随机变量的分布函数。
解： 第三章复习题。
一、 设y服从参数为λ的指数分布，令。
求1）的联合分布；
2）在下的条件分布。解：
二． 设某班车起点站上客人数x服从参数为的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为p（02）二维随机变量的联合概率分布。
解：1）、（0≤m≤n）
三、设随机变量x，y的联合分布是正方形上的均匀分布，试求的概率密度。
解： 四、设随机变量x与y相互独立，且都服从参数为p（01）求z的分布率；
2）求x与z的联合分布率；
3）p为何值时，x与z相互独立。解：；
3）由相互独立的定义得：
所以。解得。
五、设的联合密度为。
求x与y中至少有一个小于1/2的概率。
解： 六、一电子仪器由两个部件构成，以x和y分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知x,y的联合分布函数为。
1）问x、y是否独立？
2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率。
解：1）由得两者相互独立。
七、已知随机变量和的概率分布为。
而且，求。1）的联合分布率；
2）问是否对立？
解：1），
类似可以得到其它的概率分布）
所以不相互独立。
八、设随机变量相互对立，且具有相同的分布率：，，求行列式的概率分布。
解： 九、设随机变量x，y相互独立，且都服从几何分布：，，求的分布率。
解： 十、设二维随机变量在矩形区域上服从均匀分布，试求边长为x和y的矩形面积s的概率密度。
解： 第三章自测题。
三、计算题。
1、传送15个信号，每个信号在传递过程中失真的概率为0.06，每个信号是否失真相互独立，试求。
1）恰有一个信号失真的概率；
2）至少有两个信号失真的概率。
解：记x为15个信号中传递失真的个数，则x～b（15，0.06）
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