2005—2006学年第一学期。
概率统计》试卷答案。
专业班级。姓名。
学号。开课系室应用数学系
考试日期 2006.1.2
请将第一题和第二题的答案填写在下面的答题卡上，答在其它位置不得分。（）
一、二题答题卡。
11） a （12） d （13） d （14）d （15）a
16） b （17） a （18） b （19）c （20）d
一．填空题（20分＝2×10）：
1. 一批产品共有10个**2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则两次都取到**的概率为__(1)__第一次取到**，第二次取到次品的概率为__(2)__第一次取到次品，第二次取到**的概率为__(3)__
2. a、b为两个事件，，，则 __4)__
3. 已知随机变量的分布列为。
则： =56)__
4. 设随机变量的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计__(7)__
5. 设，为一个样本，其中已知， 则方差未知时，检验假设应选统计量__(8)__
6. 设随机变量服从参数为5的泊松分布，则= _9)__
7. 设随机变量，则=__10)__提示：用正态逼近法)
二、选择题(每题2分，满分20分)：
1． 设的概率分布为，则=【 11) 】
2． 设每次试验成功的概率为，则在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为【 (12) 】
3． 设，，，则=【 13
4． 设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则【 (14) 】
）+必为某一随机变量的概率密度。
）必为某一随机变量的概率密度。
）+必为某一随机变量的分布函数。
）必为某一随机变量的分布函数。
5． 设与分别为随机变量和的分布函数。为使是某一随机变量的分布函数，则下列给定的各组数值中应取【 (15) 】
6． 设二维随机变量（，）的概率分布为。
则【 (16) 】
7． 设与相互独立且同分布：，，则下列各式中成立的是【 (17) 】
8． 随机变量，则的相关系数【 (18) 】
9． 设随机变量和相互独立，且分别服从和，则【 (19) 】
10． 设为来自正态总体的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则【 (20) 】
三、计算题（30分=5×6）
1. 已知，，，求。
解：由于1分。
3分。所以
5分。2. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求某杯中有球个数的分布律。
解法一：设表示“某杯中有球个数”，则可能取值为：0，1，2，3。而将3个球随机地放入4个杯子中去共有种放法，即3个球随机地放入其它3个杯子中去，共有种放法，所以。
2分。同理得
3分 故某杯中有球个数的概率分布列为。
27/64 27/64 9/64 1/645分。
解法二：设表示“某杯中有球个数”，则服从，的二项分布，即，所以的分布律为。
3分。或表示为0 1 2 3
27/64 27/64 9/64 1/64 ……5分。
3. 设随机变量是来自总体的简单随机样本，且。令，求。
解：由于随机变量是来自总体的简单随机样本，所以相互独立，且2分。
3分。5分。
4. 设服从参数为1的指数分布，试求的分布密度。
解： 显然2分。
当时。4分。
所以5分。5. 设随机向量的概率密度为。
求。解1分。
2分。4分。
5分。6. 设随机变量独立同分布，已知的分布律为，又设试求。
1）的分布律；
2）关于的边缘分布律。
解：（1）由题意知，的分布律为。
2分的可能取值都为1，2，所以，的分布律为。
4分。2）关于的边缘分布律为。
………5分。
四、（10分）
设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中是第一家工厂生产的，其余两家各生产，又知第一家工厂生产的产品有5%的次品，其余两家工厂生产的产品有2.5%的次品，现从箱中任取一只，求：
1）取到的是次品的概率；
2）若已知取到的是次品，它是第一家工厂生产的概率。
解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第工厂生产的1分。
则，且，两两互不相容，由全概率公式得。
（13分。5分。
（28分。10分。
五、（10分）
已知随机变量的概率密度为。
其中是未知参数， 是来自总体的一个容量为的简单随机样本，求的极大似然估计估计量。
解：极大似然估计。
似然函数为7分。
9分。10分。
六、（5分）设总体，若随机抽取的样本观察值为12.6, 13.4, 12.8, 13.2,求总体均值的置信度为0.95的置信区间。
解：由条件知， ，
取样本函数2分。
对于给定的，由，查标准正态分布表求得。
又3分。将上述结果及已知条件代入
得的置信度为0.95的置信区间为5分。
七、（5分）设两个随机变量和相互独立且都服从均值为0、方差为1/2的正态分布，求的方差。
解： 设，由条件知。
1分。3分。
4分。5分。
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