一、 填空。
1、有8双不同尺码的鞋子，从中任选2只为不同尺码的鞋的概率为6／7.
2、设随机变量xd的密度函数为，试求=
3、设p（x=0）=1-p（x=1），如果e（x）=3var（x），则p（x=0
答案：1/3或1
解析：因p + p = 1，有x 的全部可能取值为0, 1，设p = p，p = 1 – p，则e (x ) 0 × 1 – p) +1 × p = p，e (x ) 0 × 1 – p) +1× p = p，即var (x ) p – p，因e (x ) 3var (x )，有p = 3(p – p)，可得2p – 3p = 0，即p = 2/3或 p = 0，故p =1 p = 1/3 或 1
4、 设随机变量x的密度函数分布p（x）=，则e（2x+5
答案：7解析：e（2x+5）=dx==-2x+5）e|+dx=5-2e|=7
二、选择题。
1、．设随机变量x的分布函数为，则p= (d)
a、1-e-3b、1-e-2c、0d、e-3
2、设随机变量x的概率密度为，e(x2)=72，则参数λ=(d) a、6b、3c、1/3d、1/6
3、设随机变量（x,y）的方差d(x)=4,d(y)=1,相关系数，则方差d(3x-2y)= c)
a)40 (b)34 (c)25.6 (d)17.6
4、设χ和的方差都存在且大于零，则υχ和υ相互独立是χ和υ不相关成立的（c）.（a）充分必要条件（b）必要条件，但非充分条件（c）充分条件，但非必要条件（d）既非充分条件，也非必要条件
5、将一枚硬币重复掷n次，以和υ分别表示正面向上和反面向上的次数，则x和y的相关系数等于（d）
a）1 (b)0(c)1/2(d)-1
三、 解答题。
1、某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标。每射击一次须付费10元。若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止。
若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元。若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望
解析：令ak=，a0=。
于是p(a1)=0.3;p(a2)=0.7×0.3=0.21;p(a3)=0.72
p(a4)=0.73×0.3=0.1029;p(a0)=0.74=0.2401
在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元，80元，70元，60元，－140元。
因此e（&）0.3x90+0.21x80+0.127x70+0.1029x60+0.2401x(-140)=26,65
2、 试证：已知事件a,b的概率分别是p(a)=0.3,p(b)=0.6,p()=0.1,则p(ab)=0.
证：因为p(a)+p(b)=0.3+0.
6=0.9,p(a+b)=1-p()=1-0.1=0.
9,由加法公式得 p(ab)=p(a)+p(b)-p(a+b)=0.
3、已知随机变量x~n（0，1），求随机变量y=x2的密度函数。
解：当y0时，fy(y)=p(yy)=p(x2y)=0;
当y>0时，fy(y)=p(yy)=p(x2y)=p(-x)=,因此，
4、设二维随机变量(,)的联合分布是。
1) ξ与η是否相互独立？(2)求的分布及e()；
解：（1）ξ的边缘分布为。
的边缘分布为。
因，故ξ与η不互相独立。
的分布列为。
因此，e()=3.16.
5、设随机变量x服从[a,b]上的均匀分布，且p=1/6，p=1/3， 求：
1)a,b的值；(2)x的概率密度f(x)；(3)p{1 [解]：(1);
,a=1,b=7; (2)x的概率密度；(3)p{16、试证：对任意的常熟c≠e（x），有var（x）=e<
e(x-c)
答案：因e (x – c) =e (x – 2cx + c) =e (x) –2c e (x ) c = e (x) –e (x )]e (x )]2c e (x ) c= e (x – e (x ))e (x ) c] >e (x – e (x ))var (x )．
7、设随机变量xn服从柯西分布，其密度函数为。
试证： .证：对任意的》0， 则。故。
概率论试卷A
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