例1.设某班车起点站上车人数x服从参数为（>0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p,且中途下车与否相互独立，以y表示在中途下车的人数。
试求（1）（x,y）的联合概率分布律；（2）求y的分布律（列）。
解：x可能的取值是0，1，2，….k，…，n，..p=
y可能的取值是0，1，2，…，r，…，k
p=pp= r=0,1,2,…,k
当r>k时，p=0,
y的边缘分布。p==
r = 0, 1, 2, …
验证y的分布律 = 1 ？
例2. [解因为只取非负值，所以当时，当时。
所以。例3. 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验n个人的血，可以用两种方法进行。
(i) 将每个人的血分别去验，这就需验n次。(ii)按个人一组进行分组，把从个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明个人的血都呈阴性反应，这样，个人的血就只需验一次。若呈阳性，则再对这个人的血液分别进行化验。
这样，个人的血总共要化验是次。假设每个人化验呈阳性的概率为，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当较小时，选取适当的，按第二种方法可以减少化验的次数。
并说明取什么值时最适宜。
解各人的血呈阴性反应的概率为。因而个人的混合血呈阴性反应的概率为，个人的混合血呈阳性反应的概率为。
设以个人为一组时，组内每人化验的次数为x,则x是一个随机变量，其分布律为。
x 的数学期望为
n个人平均需化验的次数为。 由此可知，只要选择使 ,则n个人平均需化验的次数。当固定时，我们选取使得小于1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法。
例如， ,则，当时，取到最小值。 此时得到最好的分组方法。若，此时以分组，则按第二方案平均只需化验。
这样平均来说，可以减少40%的工作量。
例4.按规定，某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。 其规律为。
一旅客8：20到车站，求他候车时间的数学期望。
解设旅客的候车时间为x（以分计）. x 的分布律为。
在上表中，例如
其中a为事件“第一班车在8：10到站”，b 为“第二班车在9：30到站”. 候车时间的数学期望为。
分）.例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式。 记使用寿命为x（以年计），规定：
一台付款1500元；,一台付款2000元；
一台付款2500元；，一台付款3000元。
设寿命服从指数分布，概率密度为。
试求该商店对上述家电收费（元）的数学期望。
解先求出寿命落在各个时间区间的概率，即有。
一台收费的分布律为。
得，即平均一台收费2732.15元。
例6及的分布设是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为和。现在来求及的分布函数。
由于不大于等价与和不大于，故有。
又由于和相互独立，得到的分布函数为。
即有。类似地，可得到的分布函数为。
即。例7.有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为
若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命(以小时计)n的数学期望。
解的分布函数为。
由第三章§5(5.8)式的分布函数为。
因而n的概率密度为。
于是n的数学期望为。
例8.一民航机场的送客车载有20位旅客，自机场开出，旅客有10个站可以下车。如果到达一个车站没有人下车则不停车。
以x表示停车的次数，求ex（设每位旅客在各个车站下车是等可能的， 并设各旅客是否下车相互独立）。
解引人随机变量。
易知现在来求。
按题意， 任一旅客在第i站不下车的概率为， 因此20位旅客都不在第i站下车的概率为()20,在第站有人下车的概率为1－()20，也就是。
由此。进而。
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