概率论第二章习题参考解答

发布 2022-07-15 15:45:28 阅读 6665

1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果。 写出它的概率函数和分布函数。

解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ0对应于反面朝上。 则。

p(ξ=0)=p(ξ=1)=0.5 .

其分布函数为。

2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数。

解: 根据题意有。

p(ξ=1)=2p(ξ=0) (1)

并由概率分布的性质知。

p(ξ=0)+p(ξ=1)=1 (2)

将(1)代入(2)得。

3p(ξ=0)=1, 即p(ξ=0)=1/3

再由(1)式得。

p(ξ=1)=2/3

因此分布律由下表所示。

而分布函数为。

3. 如果ξ的概率函数为p=1, 则称ξ服从退化分布。 写出它的分布函数f(x), 画出f(x)的图形。

解:, 它的图形为。

4. 一批产品分一,二,**, 其中一级品是二级品的两倍, **品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数。

解设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,**, 则根据题意有。

p(ξ=1)=2p(ξ=2) (1)

p(ξ=3)=p(ξ=2)/2 (2)

由概率论性质可知。

p(ξ=1)+p(ξ=2)+p(ξ=3)=1 (3)

1),(2)代入(3)得:

2p(ξ=2)+p(ξ=2)+p(ξ=2)/2=1

解得p(ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得。

p(ξ=1)=4/7, p(ξ=3)=1/7

则概率函数为。

或列表如下:

5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律。

解: 基本事件总数为,

有利于事件(i=0,1,2,3,4)的基本事件数为, 则。

6. 一批产品包括10件**, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得**为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数。

解: 每次抽到**的概率相同, 均为p=10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有。

7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件**放回去, 直到取得**为止, 求抽取次数ξ的分布律。

解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为**, 因此必然抽到**, 这样ξ的取值为1,2,3,4.

不难算出,的分布律如下表所示:

8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 当在生产过程**现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数。

解: 事件ξ=i说明生产了i次**后第i+1次出现废品, 这是i+1个独立事件的交(1次发生i次不发生, 因此有。

p(ξ=i)=p(1-p)i, (i=0,1,2,…)

9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为, 确定常数c并计算p.

解: 根据概率函数的性质有。即。得。

设事件a为ξ<1, b为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则。

10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数。

解: 第4题:

第9题:当x<-1时: f(x)=p(ξ≤x)=0

当-1≤x<0时: f(x)=p(ξ≤x)=p(ξ=1)=

当0≤x<1时: f(x)=p(ξ≤x)=p(ξ=1)+p(ξ=0)=

当1≤x<2时: f(x)=p(ξ≤x)=p(ξ=1)+p(ξ=0)+p(ξ=1)=

当x≥2时: f(x)=p(ξ≤x)=1

综上所述, 最后得:

11. 已知ξ~,求ξ的分布函数f(x), 画出f(x)的图形。

解: 当x<0时: f(x)=0;

当0≤x<1时:

当x≥1时: f(x)=1

综上所述, 最后得。

图形为 12. 已知ξ~,求p; p(ξ=0.5);f(x).

解:,因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以p=0,求f(x): 当x<0时, f(x)=0

当0≤x<1时,

当x≥1时, f(x)=1

综上所述, 最后得:

13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率。

解: 先求一个电子管使用150小时以上的概率p(ξ≥150)为:

则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为。

14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为:

求系数a; p(0.3<ξ<0.7); 概率密度φ(x).

解: 因ξ是连续型随机变量, 因此f(x)也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞的曲线接上, 则必有。

a×12=1, 即a=1. 则分布函数为。

p(0.3<ξ<0.7)=f(0.7)-f(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4

概率密度φ(x)为。

15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是f(x)=a+b arctgx, 求常数a,b;p以及概率密度φ(x).

解: 由f(-∞0,

得a+barctg1)

再由f(+∞1,

得 (2)综和(1),(2)两式解得。

即。16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度, 求系数a及分布函数f(x).

解: 这实际上是一个分段函数, φx)可重新写为。

根据性质, 又因φ(x)为偶函数, 因此有。

则有a=1/2

因此。 求分布函数f(x).

当x<0时, 有。

当x≥0时, 有。

综上所述, 最后得。

17. 已知, 计算p

解: 设事件a=, b=, 则要计算的是条件概率p(a|b), 而。

而事件ab=∩=

因此有。最后得。

18. 已知, 确定常数c.

解: 首先证明普阿松广义积分, 因为函数并不存在原函数, 因此需要一技巧。 令, 则。

作极坐标代换, 令, 则积分区间为全平面, 即θ从0积到2π, r从0积到+∞,且, 因此有。

所以i=π.

现确定常数c, 由性质,得。

19. 已知, 求常数c及p.

解: 由性质得。

解得 , 因此有。

则。20. 二元离散型随机变量(ξ,有如下表所示的联合概率分布:

求边缘概率分布, ξ与η是否独立?

解: 按下表计算ξ与η的边缘分布:

得ξ的边缘分布如下表所示:

以及η的边缘分布如下表所示:

当i=1及j=0时,因。

因此ξ与η相互间不独立。

21. 假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排, 5个灯泡在第二排。 令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数。 若ξ与η的联合分布如下表所示:

试计算在规定时间内下列事件的概率:

1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个;

2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;

3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数。

解: 假设事件a为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, b为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, c为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数。

则事件a发生的概率为上表中头两排概率之和。

事件b发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和。

事件c发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运算量, 也可以考虑其逆事件的概率, 然后用1减去它。 而的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):

22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, 分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,的分布律(袋中各球被取机会相同).

解: 因为有两个2一个1, 因此第一次取到2号的概率为p(ξ=2)=2/3, 第一次取到1号的概率为p(ξ=1)=1/3. 第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号, 则在此条件下第二次取到1号的概率p(η=1|ξ=2)=p(η=2|ξ=2)=1/2.

而第一次取到1号后还剩下两个2号, 因此这时p(η=1|ξ=1)=0, p(η=2|ξ=1)=1.

综上所述并用乘法法则可得。

ξ,η的分布律如下表所示:

23. (只取下列数组中的值:

且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(ξ,的概率分布表, 写出关于η的边缘分布。

解: 从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值, 而η只取0, ,1这三个值, 因此总共可构成九个数对, 其中只有四个数对的概率不为零。 概率分布表及η的边缘分布计算如下。

即η的边缘分布率如下表所示。

概率论第二章习题参考解答

概率论与数理统计习题参考解答 习题二 1.用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果。写出它的概率函数和分布函数。解 假设 1对应于 正面朝上 0对应于反面朝上。则。p 0 p 1 0.5 其分布函数为。2.如果 服从0 1分布,又知 取1的概率为它取0的概率的两倍,写出 的分布律和分布函数。解 根据题意...

近代概率论基础第二章作业解答 参考

第二章作业题解答参考。4 提示 当且仅当时等号成立。7 记为 从第个袋子中取出一球为黑球 这一事件。显然有。根据全概率公式,对任意的,我们有。由 1 和 2 便知 11.用表示 一个家庭有个小孩 用表示 一个家庭有个男孩 则根据题意,显然有。且对任意的有 对任意的有。根据全概率公式,对任意的,我们有...

概率论第二章习题详解

第二章随机变量及其分布。习题五随机变量 离散型随机变量及其分布规律。一 判断题。1是随机变量的分布规律是 解 由定义 可知正确。2 若对随机变量有,则它是随机变量的分布规律。否 解 当时,不符合定义。1 若对随机变量有则它是随机变量的分布律。否 解 不符合定义 二 填空题。1 设随机变量的分布律为,...