概率论课后习题解答

一、习题详解：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

1) 某篮球运动员投篮时，连续5 次都命中，观察其投篮次数；

解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；

2) 掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；

解：；3) 观察某医院一天内前来就诊的人数；

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；

4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品；

解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：

5) 检查两件产品是否合格；

解：用0 表示合格， 1 表示不合格，则；

6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于t1, 最高气温不高于t2);

解：用表示最低气温，表示最高气温；考虑到这是一个二维的样本空间，故：

7) 在单位圆内任取两点，观察这两点的距离；

解：；8) 在长为的线段上任取一点，该点将线段分成两段，观察两线段的长度。

解：；1.2 设a，b，c 为三事件，用a;b;c 的运算关系表示下列各事件：

1) a 与b 都发生，但c 不发生；；

2) a 发生，且b 与c 至少有一个发生；；

3) a,b,c 中至少有一个发生；；

4) a,b,c 中恰有一个发生；；

5) a,b,c 中至少有两个发生；；

6) a,b,c 中至多有一个发生；； 7) a;b;c 中至多有两个发生；；

8) a,b,c 中恰有两个发生。；

注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间，事件=,具体写出下列各事件：

1.4 用作图法说明下列各命题成立：

略。1.5 用作图法说明下列各命题成立：

略。1.6 按从小到大次序排列，并说明理由。

解：由于故，而由加法公式，有：

1.7 若w 表示昆虫出现残翅， e 表示有退化性眼睛，且p(w) =0.125; p(e) =0.075,p(we) =0.025, 求下列事件的概率：

1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛；

2) 昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛；

3) 昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛。

解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

2) 由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛对应事件概率为：

3) 昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛的概率为：.

1.8 设a 与b 是两个事件， p(a) =0.6; p(b) =0.8。试问：

1) 在什么条件下p(ab) 取到最大值？最大值是多少？

2) 在什么条件下p(ab) 取到最小值？最小值是多少？

解：(1) 由于，故显然当时p(ab) 取到最大值。最大值是0.6.

2) 由于。显然当时p(ab) 取到最小值，最小值是0.4.

1.9 设p(a) =0.2, p(b) =0.3, p(c) =0.5, p(ab) =0, p(ac) =0.1, p(bc) =0.2, 求事件。

a,b,c 中至少有一个发生的概率。

解：因为 p(ab) =0，故 p(abc) =0.至少有一个发生的概率为：

1.10 计算下列各题：

1) 设p(a) =0.5, p(b) =0.3, p(ab) =0.6, 求p(ab);

2) 设p(a) =0.8, p(ab) =0.4, 求p(ab);

3) 设p(ab) =p(a b); p(a) =0.3, 求p(b)。

解：1）通过作图，可以知道，

1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？

解：用表示事件“杯中球的最大个数为个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有种，每种放法等可能。

对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故。

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

对事件：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故。

1.12 掷一颗匀称的骰子两次，求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少？

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。

同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是。

1.13 在整数中任取三个数，求下列事件的概率：

1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5.

解：从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。

1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。

2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。

1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球， 8 只是黄色球。现从这12 只乒乓球中随机地取出两。

只，求下列事件的概率：

(1) 取到两只黄球； (2) 取到两只白球； (3) 取到一只白球，一只黄球。

解：分别用表示事件：

1) 取到两只黄球； (2) 取到两只白球； (3) 取到一只白球，一只黄球。则。

1.15 已知，, 求。

解：由于，故。

1.16 已知，。计算下列二式：

解：（1）

注意：因为，所以。

1.17 一批产品共20 件，其中有5 件是次品，其余为**。现从这20 件产品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：

1) 在第。

一、第二次取到**的条件下，第三次取到次品；

2) 第三次才取到次品；

3) 第三次取到次品。

解：用表示事件“第次取到的是**”（）则表示事件“第次取到的是次品”（）

1) 事件“在第。

一、第二次取到**的条件下，第三次取到次品”的概率为：

2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：

3）事件“第三次取到次品”的概率为：

此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为**，一个为次品。用表示事件“第次取到的是**”（）则事件“在第一次取到**的条件下，第二次取到次品”的概率为：

；而事件“第二次才取到次品”的概率为：。区别是显然的。

1.18 有两批相同的产品，第一批产品共14 件，其中有两件为次品，装在第一个箱中；第二批有10 件，其中有一件是次品，装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中，然后再从第二箱中任取一件，求从第二箱中取到的是次品的概率。

解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则，根据全概率公式，有：

1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知。

一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设。

一、二、三等种子的发芽率相同，求用上述的小麦种子播种后，这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率。

解：设表示事件“所用小麦种子为等种子”，表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。

则，，，根据全概率公式，有：

1.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者，女性中的2.

5% 是色盲患者。今从人群中随机地抽取一人，恰好是色盲患者，求此人为男性的概率。

解：用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为：

1.21 根据以往的临床记录，知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.

01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应，求此人患有癌症的概率。

解：用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：

因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

1.22 仓库中有10 箱同一规格的产品，其中2 箱由甲厂生产， 3 箱由乙厂生产， 5 箱由丙厂生产，三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.

1) 求该批产品的合格率；

2) 从该10 箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，若此件产品为合格品，问此件产品由甲、

乙、丙三厂生产的概率各是多少？

解：设，则。

1）根据全概率公式，，该批产品的合格率为0.94.

2）根据贝叶斯公式，

同理可以求得，因此，从该10 箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，若此件产品为合格品，此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。

1.23 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次，他们击中目标的概率分别为0.7， 0.8 和。

0.9，求目标被击中的概率。

解：记=，则。

1.24 在四次独立试验中，事件a 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次独立试验中，事件a发生一次的概率。

解：记=，而，因此。所以。

三次独立试验中，事件a 发生一次的概率为：。

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