(1)了解契比雪夫不等式；
2)了解辛钦大数定律，伯努利大数定律成立的条件及结论；
3)了解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
契比雪夫不等式。
柯西-施瓦茨不等式。
伯努利大数定律。
林德伯格-列维定理。
1. 马尔科夫不等式。
若为只取非负值的随机变量，则对任意常数，有。
2. 契比雪夫不等式。
若存在，则。
3. 辛钦大数定律。
定理 1 设是独立同分布的随机变量序列，且具有有限的数学期望，则对任意的，有。
4. 伯努利大数定律。
定理2 设，其中n=1,2, …00，有。
5．独立同分布的中心极限定理。
定理3 (林德伯格-列维定理) 设为独立同分布的随机变量，则对任意实数有。
式中，是标准正态分布的分布函数，即。
6. 棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理。
定理3(棣莫佛-拉普拉斯定理) 设独立同分布，的分布是。
则对任意实数，有。
例1 设随机变量和的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据契比雪夫不等式。
解因为。根据契比雪夫不等式。
所以。例2 某保险公司经多年资料统计表明，在索赔户中被盗户占20%,在随意抽查的100家索赔户中以被盗的索赔户数为随机变量，利用中心极限定理，求被盗的索赔户大于14户且小于30户的概率近似值。
分析]本题的随机变量服从参数的二项分布。如果要精确计算，就要用伯努利二项公式：.如果求近似值，可用契比雪夫不等式估计。
解由于，所以。
因此被盗的索赔户大于14户且小于30户的概率近似值为0.927.
例3 某车间有200台机床，它们彼此工作独立，开工率都为0.6，工作时耗电都为1kw,问供电所至少给这个车间多少度电，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。
解用表示工作的机床台数，则。设要向车间供电kw,则有由棣莫佛-拉普拉斯定理得。即。因此。
例4 用契比雪夫不等式确定当掷一均匀硬币时，需掷多少次，才能保证使得出现正面的频率在0.4~0.6之间的概率不小于90%,并用正态逼近计算同一个问题。
解设需掷次，用表示出现正面的次数，则，有契比雪夫不等式得。
所以。由棣莫佛-拉普拉斯定理得。
即，查表得，故。
例5 假设是独立同分布的随机变量，且，证明当充分大时，随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数。
证由是独立同分布的随机变量序列可知，独立同分布，且有。
由林德伯格-列维定理可知，对任意有。
即近似服从正态分布。
例6 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度超过3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？
解设 则，记，则。
由棣莫佛-拉普拉斯定理得。
例7 假设男婴的出生率为，某地区有7000多名产妇，试估计她们的生育情况。
分析]重伯努利实验**现的频率依概率收敛于它的概率，当很大时，有。
解设。显然，独立同分布且均服从分布，表示7000名产妇中生男婴的人数，有伯努利大数定理得。
由于已是足够大，因此。
即该地区估计有3581名男婴出生。
例8 某电视机厂每月生产10000台电视机，但它的显像管车间的**率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上**的显像管，该车间每月应生产多少只显像管？
解设显像管**数为，月总产量为，则有，从而。
为了使电视机都装上**的显像管，则每月至少生产10000只**显像管，即所求为。
由棣莫佛-拉普拉斯定理得。
即。由题意可知， ,且较大，即，所以。
查表得，故。
因此，每月至少要生产只显像管才能以0.997的概率保证出厂的10000台电视机都能装上**的显像管。
例9 一养鸡场购进1万个良种鸡蛋，已知每个鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡发育成种鸡的概率为0.90，试计算这批鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。
解设， ,令。
则诸独立同分布，且。
显然，表示10000个鸡蛋育成的种鸡数，则，而。
根据棣莫佛-拉普拉斯定理可得。
于是，所求概率为。
因此，由这批鸡蛋得到的种鸡不少于7500只的概率为92%.
6-1 设，再对利用契比雪夫不等式：
故服从大数定理。
6-2 设出现7的次数为，则有。
由棣莫佛-拉普拉斯定理可得。
由中心极限定理可知，近似服从标准正态分布，所以。
6-4 设报各人数为，则。
由棣莫佛-拉普拉斯定理可得。
6-5 设，则。
总保险费为(万元)
1) 当死亡人数在达到人时，保险公司无收入。
所以保险公司赚钱概率为。
因而亏本的概率为。
(2)若利润不少于40000，即死亡人数少于80人时，若利润不少于60000，即死亡人数少于60人时，若利润不少于80000，即死亡人数少于40人时，6-6 设总机需备条外线才能有95%的把握保证每个分机外线不必等候，设随机变量，则。
由中心极限定理可得。
6-7 密度函数为。
故数学期望为。
(1)设为第个数的误差，则。
(1)设为第个螺钉的重量，则。
(2)设，则。
6-9 设随机变量，按时进入掩体的人数为，则，所以有。
设有k人按时进入掩体，则。
所以至少有884人，至多有916.
1.设随机变量服从，则对区间，恒有。
2.一大批产品中优质品占一半，现每次抽取一个，看后放回再抽，问在100次抽。
取中取到优质品次数不超过45的概率等于。
3.相互独立， ,则对任意给定的，有( )
4.设为独立随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，则有( )
5.设为独立随机变量序列，且服从服从参数为的指数分布，则( )
6.设随机变量相互独立， ,根据林德伯格-列维定理，当充分大时，近似服从正态分布，只要( )
7.某校有1000名学生，每人以80%的概率去图书馆自习，问图书馆至少应设多少个座位，才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位坐？
8.某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望(未知),方差。为了估计，随机地取只这种器件，在时刻投入测试(设测试是相互独立的)直到失败，测得寿命为，以作为的估计，为了使，问至少为多少？
9.利用中心极限定理证明。
答案]1. 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得。
2. 令表示100次抽取中取得优质品的次数。则。那么。
由棣莫佛-拉普拉斯定理可得。
3.由题意可得
又因为。故(d)项正确。
4.因为服从参数为的泊松分布，故，由林德伯格-列维定理得。
当充分大时，近似服从分布，故c项正确。
5.由题意可知。
由林德伯格-列维定理可得。
即。6.由于林德伯格-列维定理要求独立同分布，且具有有限的数学期望与方差。因此c项正确。
7.设表示同时去图书馆上自习的人数，并设图书馆至少有个座位，才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位，即满足。
因为，所以。
查表得，故。因此图书馆至少应有830个座位。
8.由于独立同分布，且。
由林德伯格-列维定理得。
即，查表得，故。
因此至少为1537.
9.设为独立同服从参数为1的泊松分布的随机变量序列，则服从参数为的泊松分布，因此有。
由林德伯格-列维定理可得。
所以。1)理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，了解直方图和样本分布函数的意义和作用。
2)了解分布、分布、分布的概念和性质，了解分位数的概念并掌握查表计算。
3)了解正态总体的抽样分布。
1.总体和个体。
在数理统计中，把研究对象的全体称为总体或母体，把组成总体的每一个研究对象(元素或单元)称为个体。总体分为有限总体和无限总体。有限总体是指其总体中的成员只有有限个。
相应的，无限总体是指其总体中的成员有无限个。
2．样本。在一个总体中，抽取个个体，这个个体总称为总体的样本或子样，称为样本容量。
样本特性：1 代表性，样本中的每一个分量与总体有相同的分布。
2 独立性，个样本是相互独立的，具有上述两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本。
3. 样本分布。
对于总体的样本，若的分布函数为，那么样本的联合。
分布函数为。
若的密度函数为，那么样本的联合密度函数为。
4. 样本分布函数。
设是总体的一个样本观察值，将它们按大小排列为，令。
称为样本分布函数(或经验分布函数).
5. 统计量的定义。
定义设是总体的一个样本，若是连续函数，
且其中不包含任何未知参数，称样本函数为统计量。
常用统计量设是从总体中抽取的一个样本。
1) 样本均值。
2) 样本方差。
3) 样本阶原点矩。
4) 样本阶中心矩。
6. 常用统计量的性质。
设是取自总体的一个样本， ,则。
7. 抽样分布。
概率论习题答案
概率统计练习册。教师用。二零零三年元月。目录。第一章随机事件与概率2 第二章随机变量及其概率分布7 第三章二维随机变量及其概率分布13 第四章随机变量的数字特征20 第五章大数定律与中心极限定理24 第六章抽样分布26 第七章参数估计29 第八章假设检验32 第一章随机事件与概率。习题一 一 1 基...
概率论习题答案
第一章随机事件及其概率。概率的定义。p6，1 1 2，3 p11，1 2 2，3，4，6 古典概型。p16 1 3 6，7,10 条件概率 全概率公式和贝叶斯公式。p22 1 4 4，5 7，12 1 求。2 设是两个随机事件，求，3 设一个厂家生产的每台仪器有80 可以直接出厂，20 需进一步调试...
概率论习题答案
第一章概率论的基本概念习题答案。1.解 正，正 正，反 反，正 反，反 正，正 正，反 正，正 反，反 正，正 正，反 反，正 2.解 3.解 1 23 6 7 或。4.解 甲未击中 乙和丙至少一人击中 甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中 甲和乙都未击中 甲和乙击中而丙未击中 甲 乙 丙三...