第二章随机变量及其分布。
习题五随机变量、离散型随机变量及其分布规律。
一、判断题。
1是随机变量的分布规律是 ）
解：由定义（）可知正确。
2、若对随机变量有，则它是随机变量的分布规律。 (否 )
解：当时，，不符合定义。
1、 若对随机变量有则它是随机变量的分布律。
否 ）解：，不符合定义
二、填空题。
1、设随机变量的分布律为，则1 .
解：由。2、设随机变量的分布律为，则3 .
解： 3、设离散型随机变量服从两点分布，且。
解：由。4、设随机变量且已知则5 ，解：
联立①②可解得
5、某试验的成功概率为，失败概率为，若以表示试验者首次成功所进行的试验次数，则的分布律为。
解：此题为几何概型。
6、设随机变量服从二项分布随机变量服从二项分布。若则。
解：由有： 于是。
一、 在15件同类型的零件中有2件次品，从中取3次，每次任取1件，作不放回抽取。以。
表示取出的次品的个数。
1、求的分布律；
2、画出分布律的图形。
解：1、由题意有且。
四、一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为。
0.1，问在同一时刻。
1、恰有2个设备被使用的概率是多少？
2、至少有3个设备被同时使用的概率是多少？
3、至多有3个设备被同时使用的概率是多少？
解：由题意可知，此为5重贝努利试验，设表示有个设备被使用，则，于是。
五、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，试问：
1、在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？
2、在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？
解：设，由题意有。
六、设服从泊松分布，其分布律为当为何值时，最大。
解：设时，最大，则。
且，于是有。且。即
因此若为整数，当或时最大；
若不为整数，当时最大。
习题六随机变量分布函数、连续型随机变量及其概率密度。
一、判断题。
1、是某个随机变量的分布函数是 ）
解：由定义直接可得。
2、是某个随机变量的分布函数否 ）
解：不是单调不减函数。
3、是某个随机变量的概率密度函数否 ）
解： 4、若概率，则x不可能是连续型随机变量是 ）
解：若x为连续型随机变量，则应该为0.
5、对连续型随机变量，区间上有限个点上密度函数值的改变不影响区间上的概率值。
解：设连续型随机变量x的概率密度函数为，则。
而由定积分的性质可知，改变被积函数在某点的值，不影响定积分的结果是 ）
6、对一个分布函数，概率密度函数是唯一的否 ）
解：由5可知，概率密度函数改变有限个点的值不影响分布函数。
7、设为其分布函数，则否 ）
解：由p67 结论（2.34）可知，应为时才有。
二、填空题。
1、已知连续型随机变量的分布函数为，则常数 ,0 .
解：由定义知连续，于是。
2、已知随机变量的密度函数为偶函数，为的分布函数，则。
解：由于概率密度函数为偶函数，即的图像关于y轴对称，如图。
于是 3、设随机变量 ，
解：由，于是。
4、设随机变量，则 ， 0 .解：1、
3、连续型随机变量在任何一点的概率均为0，即。
5、设随机变量，且无实根的概率为则4 .
解：由无实根的概率为有。
而，令，于是。
三、选择题。
1、设分别为的密度函数和分布函数，则有（ d ）
ab、cd、
解： 2、，则随的增大，将会（ c ）
a、单调递增b、单调递减。
c、保持不变d、不能确定。
解： 四、设随机变量的概率分布为。
1、 求x的分布函数，并画出的图形；
2、 求并比较后两个概率值。解：1
五、设连续型随机变量的分布函数为。
试求：1、系数a；
3、的分布密度。
解：1、由连续，于是。
3、分布密度（概率密度）
六、设随机变量的密度函数为。
试求：1、系数；
2、的分布函数；
3、落在区间的概率。
解：1、由定义知于是。
即。2、由定义知于是。
（1）当时。
（2）当时。
3）当时。即：
七、设随机变量，
1、若； 2、求；
3、设d满足，问至多为多少。
解：令则。1、 由。
即 而 ，即。
查表可得）查表可得）
3、由。而单调不减，且查表有。
于是即。八、公共汽车车门高度，是按男子与车门碰头机会在0.01以下来设计的，设男子身高服从的正态分布，问车门高度应如何确定？
解：由题可知，令。
设为车门高度，则应满足。
即 查表有。
于是 即车门高度应大于等于185cm.
习题七随机变量的函数的分布。
一、填空。1、设随机变量分布律为
则的分布律为。
的分布律为。
2、设随机变量的服从的分布为。
解：由题意可得： 而。
于是由p76 定理1有：
3、设随机变量服从的分布为。
解：p77 例题5
二、选择题。
1、设的密度函数为，则下列随机变量。
的是 ( b )
ab、cd、
解： 2、设的密度函数为的概率密度是 ( b )
a、 b、 c、 d、
解： 3、已知 ( a )
a、 b、 c、 d、
解： 三、设的概率密度的分布函数和概率密度。
解：1、由。
有。2、由。
当时：当时。
当时。于是：
四、设。1、求的概率密度； 2、求的概率密度； 3、求的概率密度。
解：由题意有。
1、由，且，运用p76定理1有：
于是： 2、由而不恒大（小）于零。
于是不能使用p76定理1，而要用分布函数法，先求。
当时。当时。
概率论第二章习题参考解答
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概率论第二章习题参考解答
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第二章概率论基础作业
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