（a）1、设是取自总体的样本，其中，求：（1）的分布列、期望与方差；（2）与的联合分布列。
解 （1）因为，且独立，则的分布是，期望为，方差为。
2）因为，且独立，则与的联合分布列为。
其中。2、设是取自总体的样本，其中、为参数，求：（1）样本的联合分布密度；（2）样本均值的期望、方差与标准差。
解 （1）因为，且独立，则样本，，的联合分布密度为。
3、设某地两个调查员，分别在该地东部与西部调查职工的月收入。调查员甲在东部随机调查了200位职工，得样本均值为800元，样本标准差为200元；调查员乙在西部随机调查了180位职工，得样本均值为620元，样本标准差为150元。现将这两个样本看成一个容量为380的样本，求样本均值与样本标准差。
解设调查员甲调查的样本容量为，样本均值为，样本标准差为，样本方差为。调查员乙调查的样本容量为，样本均值为，样本标准差为，样本方差为。
如果将甲、乙调查员调查的职工月收入合为一个样本，则该样本的样本容量为，其样本均值为。
样本方差为。
所以，该样本的标准差为：。
4、设是取自总体的样本，其中，且未知，指出以下样本的函数中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
解 （1）、（4）是统计量，因为它们是样本的函数且不含未知参数；而（2）、（3）不是统计量，因为它们虽然是样本的函数，但含未知参数。
5、从总体中随机抽取了一个容量为36的样本，求样本均值落在区间[50.8，53.8]内的概率。
解因为总体，所以，故。
6、设总体，样本取自总体。如果要以95.4%的概率保证成立，那么样本容量应取多大？
解由于总体，所以，由于。
因为。即要求。
利用标准正态分布表，确定0.977的分位数为2.00，故。
解得，所以样本容量应取。
7、设有一枚均匀的硬币，以表示“抛一次硬币正面朝上的次数”，试问要抛多少次才能使样本均值落在区间[0.4，0.6]内的概率不少于0.9？
解因为，在充分大时，由中心极限定理，可以近似认为，则要求。
即要求。由正态分布表查得，解得即至少应抛68次。
8、 设随机变量相互独立且都服从标准正态分布，求随机变量。
的概率分布．
解由条件知相互独立且都服从标准正态分布．随机变量。
作为两个独立标准正态随机变量的平方和，服从自由度为2的分布．因为。
其中（1），（2）服从自由度为2的分布，（3）x和相互独立，所以由服从分布的随机变量的典型模式知，随机变量服从自由度为2的分布．
9、在所调查的100户城市家庭中，拥有的电脑数的分布为。
绘出家庭中拥有电脑频率的线条图。
解设表示城市每户家庭拥有的电脑数，则被调查家庭中拥有电脑数的频率分布表为。
则家庭中拥有电脑频率的线条图为。
10、一组工人完成某一装配工序所需的时间（分）分别如下：
求：（1）样本均值、样本方差与标准差；(2) 作出样本频率直方图及其累积频率直方图。
解 （1），。
2) 以27为第一组的左端点，组距定为3
频数、频率和累积频率分布表。
作样本频率直方图为：
作出样本累积频率直方图为：
11、某商店100天电冰箱的日销售情况有如下统计数据。
求经验分布函数，样本均值，样本方差。
解易见。由所给统计数据，容易写出经验分布函数：
12、某电子元件寿命服从参数为的指数分布，其分布函数为。
如今从中抽取6个电子元件测其寿命，获得容量为6的样本，求下列事件的概率：（1）“到800小时没有一个元件失效”；（2）“到3000小时所有元件都失效”。
解指数分布的函数是，这里。
1）令，则其分布函数为。
所以，“到800小时没有一个元件失效” 的概率为0.0007466。
2）令，则其分布函数为：
所以，“到3000小时所有元件都失效” 的概率为0.93517。
b）1、设与分别是容量为的样本均值与样本修正方差，如今又获得了一个样本观察值，那么将它加入到原来的样本中，便得到容量为的样本，证明：
证 ， 故其样本均值为。
因此该样本方差为。
2、设是取自总体的样本，是样本方差。求，。
解因为，则，。由期望与方差的性质即得，。
3、设是取自总体的样本，与分别是样本均值与样本方差。试求，，。
解因为总体，则有，，所以。
4、设和是分别来自总体的两个相互独立简单随机样本；记。
求未知常数，使满足。
解由条件知．由正态总体样本方差的抽样分布，知服从自由度为8的分布；服从自由度为15的分布．由条件知。
服从自由度为(15,8)的分布．
由分布上侧分位数表（附表5）查出自由度分别为（8,15）和（15,8）的分布水平0.05的两个上侧分位数：，其中。
因此；另一方面。
由此可见。
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