（a）1、从1，2，3，4四个数码中先后任意取出两个数码（每次取一个，取后不还原），写出下列每个随机变量可能的取值：
1）两个数码的数字和；
2）第一个数码与第二个数码的数字差；
3）数码为偶数的个数；
4）数码为1数的个数。
解（1）3，4，5，6，7；
2、随机投两颗骰子，以表示其点数之和，写出可能的取值及其概率，并求。
解可能的取值：2，3，…，12；取这些值的概率：
3、设随机变量的分布列为。
求的值。解
4、某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。
解设击中次数为，则。
5、某厂需要12只集成电路装配仪表，要到外地采购，已知该型号集成电路的不合格品率为0.1，问需要采购几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路不少于12只？
解设采购只，不合格品数为，显然。
以题意。取多少呢？
取， 取，
取， 可见，只需要采购17只就能有99%把握保证其中合格的集成电路不少于12只。
6、在500个人的团队中，求恰有6个人的生日在元旦的概率。
解每一个人的生日在元旦的概率，则该团队中生日在元旦的人数。
依题意要求。
由于，采用泊松分布近似。
7、从某商店过去的销售记录知道：某种商品每月的销售数可以用参数的泊松分布来描述，为了以以上的把握保证不脱销，问商店在月初至少应进多少件？
已知，)解令商店该商品的月销售量为，设每月进货件。则。依题意要求。
即 查泊松分布表得，和15时，有。
于是，为了以以上的把握保证不脱销，商店在月底至少应进15件。
8、若随机变量只取一个值，即。
求的分布函数，并作出图形。
解的分布函数为：
9、在10台计算机中有2台感染了病毒，现在一台一台地抽样检查，求在发现首台未感染病毒者时已经检查过计算机的台数的分布函数。
解先求x的概率分布．易见，x有0，1，2等3个可能值，且。
于是x的分布函数为。
10、已知随机变量的分布函数为。
求随机变量的概率分布。
解易见有0,2,5等3个间断点，故随机变量有3个可能值．由于。
可见随机变量的概率分布为。
11、已知连续型随机变量的分布函数。
求（1）系数；（2）落入内的概率；（3）的密度函数。
解 （1）因为，
又连续型随机变量的分布函数连续。
则。2）的分布函数为：
故。3）的密度函数为：
12、已知连续型随机变量的分布函数（柯西分布）
求（1）系数、；（2）；（3）的密度函数。
解 （1）解得 ，
2）的分布函数为。
因此， （3）的密度函数为。
13、设随机变量的概率密度函数为 ，求（1）常数；（2）；（3）的分布函数。
解 (1)
3)的分布函数。
14、设随机变量x的密度函数为。
求（1）常数；（2）。
解 (1)
15、设随机变量的密度。
现对进行次独立重复观测，以表示观测值不大于的次数，求的概率分布。解令。即。
16、某型号电子管寿命（小时）为一随机变量，密度函数为。
某一电子设备内配有3个这样的电子管，求电子管使用150小时都不需要更换的概率。
解令“第个电子管不需要更换”，为电子管的使用寿命。而。所以。
或令“第个电子管的使用寿命”，则。
17、设随机变量x和y相互独立，且都服从[1,3]上的均匀分布。记事件， ,已知，求常数。解 解得。
18、设随机变量服从参数的指数分布，计算：(1)；(2)。解
2) 由指数分布的无记忆性得。
19、设随机变量，求：（1）；（2）；（3）。解 （1）
20、设随机变量，（1）求；（2）求；(3)求常数，使得。解（1）
查表得。21、某种电子元件在电源电压不超过200伏，200～240伏，超过240伏三种情况下损坏的概率分别为0.1,0.
001及0.2，设电源电压，求：（1）此种电子元件的损坏率；（2）此种电子元件损坏时，电源电压在200～240伏的概率。
解令=“电压不超过200伏”
“电压在200～240伏”
“电压过240伏”
电子元件损坏”
22、已知的密度函数是，且，求的密度函数。
解先求的分布函数。
23、设随机变量x的概率密度函数为，求随机变量的概率分布函数。
解 24、 设随机变量，，求概率密度。
解的分布函数：
即 25、证明：若随机变量，则。
证明 当时，
当时， 此时，当时，
当时， 所以， 。
b）1、（自由随机游动）假设一质点在某直线（数轴）上运动，在时刻0从原点出发，每个隔一个单位时间质点向右或向左移动一个单位，而向右移动的概率为，向左移动的概率为（），求到时刻时质点位于数轴上（正整数）的概率。
解设到时刻时质点向右移动的次数为，又设到时刻时质点位于数轴上点时向右移动的次数为，依题意。
即。所求概率为。
因此，当为奇偶性相同时，；
当奇偶性相反时，。
2、假设一日内到过某商店的顾客人数服从参数为的泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为。以表示一日内到过该商店并且购货的人数，试求的概率分布．
解设为一日内到过该商店的顾客的人个数，由条件知服从参数为的泊松分布．设x为一日内到过该商店并且购货的人数．由全概率公式知，对于0,1,2,…，有。
于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数服从参数为的泊松分布．
3、证明：设随机变量的概率密度函数满足，则对任何正实数，的分布函数满足。
证 4、设一设备开机后无故障工作的时间服从参数为0.2的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。求设备每次开机无故障工作时间的分布函数。
解由题意。设y的分布函数为。
当时：；当时：当时：故
5、设，求的密度。
解当时，，
当时，， 当时：
当时：总之，
6、设随机变量的绝对值不大于1，且，，在事件出现条件下，在内的任一子区间上取值的条件概率与区间长度成正比。求：（1）的分布函数；（2）取负值的概率。
解 (1)当时，
当时， 当时，而，此时，
当时， (原因：必然事件)
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