（a）1、写出下列随机现象的基本事件空间。
1）一次（没有顺序）抛两枚完全相同的硬币，观察每枚硬币出现正面还是反面；
2）先后投两颗骰子，观察每颗骰子出现的点数；
3）向某目标射击直到命中目标为止，观察射击的次数；
解（1）若“有枚正面朝上”，则。
2）用表示“第一次投出点，第二次投出点”，则。
3）若“射击次才命中目标”，则，为自然数集}。
2、在分别标有数字的10张卡片中任取一张，令表示事件“抽得一张标号不大于3的卡片”；表示事件“抽得一张标号为偶数的卡片”；表示事件“抽得一张标号为奇数的卡片”。请用基本事件表示下列事件：，
解令表示“抽得一张标号为的卡片”，则，。
因此，，，3、某厂生产流水线上甲、乙、丙3部机床是独立工作的，并由一人看管，若用分别表示某段时间内甲、乙、丙机床不需要照顾。试用表示下列事件：
1）这段时间内有机床需要看管；（2）这段时间内因机床故障看管不过来而停工。
解 （1）或。
2）或。4、判断下列结论是否正确。
解 （1）√ 2）× 3）× 4）√
5、先用图示法简化下列各式，在利用定义或运算律证明。
解 （1）（图示略）
证明： 2）（图示略）
证明： 3）（图示略）
证明： 6、先后抛两枚匀称的硬币，求至少出现一个正面的概率。
解 7、盒中有个白球，及个黑球，从中任取（），求所取的球恰有个白球和个黑球的概率。
解 8、盒中有个白球，及个黑球，从中任意接连取次（），球被取出后不还原，求最后取出的球是白球的概率。
解 9、 有封信随机地投入个邮筒，求下列事件的概率：
1）某指定个邮筒中各只有一封信；
2）有个邮筒中各只有一封信；
3）某指定的一个邮筒中恰有封信。
解因为每一封信都有个邮筒可供选择，所以封信投放到个邮筒共有种。
1）某指定个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为，于是，所求的概率为。
2）有个邮筒中各只有一封信，其可能的总数为，于是，所求的概率为。
3）某指定的一个邮筒中恰有封信，其可能的总数为，于是，所求的概率为。
10、从正整数、…n中有放回地抽取个数，求抽到的最大数恰好是的概率。
解 “所取数不大于”与“所取数不大于”的差额即“所取数的最大者”。
因此，所求的概率。
11、自前个正整数中随意取出两个数，求两个数之和是偶数的概率。
解这是一道古典型概率的题．引进事件．若为偶数，则自前个正整数中随意取出两个数有种不同取法，其中导致事件的有种（“取到两个偶数”和“取到两个奇数”各种），因此。
若为奇数，则自前个正整数中随意取出两个数有种不同取法，其中导致事件的有种（“取到两个偶数”的种，“取到两个奇数”的种），因此。
于是，两个数之和是偶数的概率为。
12、从双不同的手套中任取只，求其中恰有只配成双的概率。
解 13、某地铁每隔五分钟有一列车通过，某乘客对列车通过该站时间完全不知道，求该乘客到站等车时间不多于2分钟的概率。
解设a=，乘客到该站时刻为，为前一列车开出时刻，为后一列车到达时刻，，，由几何概型的概率得。
14、设事件与互不相容，且，，求，，，
解 ，，15、盒中有10个球，6个白球，4个黑球，从中一次任取3球。求至少有一个白球的概率。
解记“至少有一个白球”，则“均为黑球”。
16、投两颗匀称的骰子，求至少有一颗的点数大于3的概率。
解记“第颗的点数大于3”，，
17、设为事件，证明：
提示：利用两个事件的广义可加性。
18、将一枚硬币重复掷次，试求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率。
解设，则．由于掷的次数是奇数，可见．于是，由对称性知和的概率相等：
19、在某铁路编组站需要编组发往三个不同地区，和的各2节、3节和4节车皮。假设编组的顺序是完全随机的，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率．
解用乘法公式来解．引进事件： ．将发往和三个不同地区统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻的总共有3=6种不同情形，其中每种情形对应，和的一种排列，且6种排列都是等可能的，因此．由乘法公式，有。
20、某市一项调查表明：该市有30%的学生视力有缺陷。7%学生听力有缺陷，3%学生视力与听力都有缺陷，记“学生视力有缺陷”， 学生听力有缺陷”， 学生视力与听力都有缺陷”。
1）已知学生视力有缺陷，问他听力有缺陷条件概率；
2）已知学生听力有缺陷，问他视力缺陷条件概率；
3）随意找一个学生，他视力没有缺陷但听力有缺陷的概率；
4）随意找一个学生，他视力有缺陷但听力没有缺陷的概率；
5）随意找一个学生，他视力和听力都没有缺陷的概率。解 （1）
21、 10件产品，其中6件合格品，4件次品，从中依次取两次，取后不还原，求第二次才取到**的概率。
解令a=“第一次取到**”，b=“第二次取到**”，则“第二次才取到**”=
22、设10件产品中有4件不合格品，从中任意取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也不合格的概率。
解设任取两件恰有件不合格品，。
或设表示第件不合格，。
个考签中有4个难签，甲、已、丙3人依次参加抽签（不放回）求下列事件的概率：（1）甲抽到难签；（2）甲、已都抽到难签；（3）甲没抽到难签，已抽到难签；（4）甲、已、丙都抽到难签。
解设分别表示甲、已、丙抽到难签。
24、盒中有一个红球和一个白球，先从盒中任取一球，若为红球，则试验终止，若取到白球，则把白球放回的同时再加进一个白球，然后再取下一球，如此下去，直到取得红球为止。求第次取到红球的概率。
解设=“第次取球取得白球”
则“第次取到红球”
在第次取球时，盒中共有个白球和一个红球，所以。
25、设是三个相互独立的随机事件，且，判断下列给定的四对事件是否相互独立：
1）与 （2）与
3）与 (4) 与。
解 （1）独立；（2）不独立；（3）独立；（4）独立。
26、设a、b相互独立，求下列条件概率：
解 （1）=
27、一架飞机有二个发动机，向该机射击时，仅当击中驾驶舱或同时击中二个发动机时，飞机才被击落。又知击中驾驶舱概率为，击中每个发动机概率为，求飞机被击落的概率。
解记=“击中驾驶舱”
击中第一个发动机”
击中第二个发动机”
飞机被击落”
则。因相互独立，得。
28、甲、乙、丙3部机床独立的工作(流水线上)，由一人看管，某段时间内各机床不需要看管的概率分别是0.9，0.8，0.85。求下列事件的概率：
1）在这段时间内有机床需要看管；
2）因机床看管不过来而停工。
解令分别表示甲、乙、丙机床不需要照顾。
表示有机床需要看管。
表示机床看管不过来而停工。则
29、某型号的高射炮，每门命中敌机的概率为0.4,现若干门炮同时射击，欲以99%的把握击中敌机，问至少要配置几门高射炮？
解设配置门炮同时射击，令“第门射击命中”
则“击中敌机”=
欲以99%的把握击中敌机，须满足。
即 可见需要配置10门炮，才能以99%把握击中敌机。
30、用晶体管装配某仪表要用128个元器件，改用集成电路元件后，只要用12个就够了，如果每个元器件能用2000小时以上的概率是0.996，假如只有当每一个元器件都完好时，仪表才能正常工作，试分别求出上面两种场合下仪表能正常工作2000小时的概率。
解设事件为“仪表正常工作2000小时”，事件为“第个元器件能工作到2000小时”。
1）使用晶体管装配仪表时，应有。
2）使用集成电路装配仪表时，应有。
比较上面两个结果可以看出，改进设计，减少元器件数能提高仪表正常工作的概率。
31、甲、乙两人进行乒乓球比赛，根据以往经验每局甲胜的概率为（），问对甲而言，采取三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利，设各局胜负相互独立。
解采用三局二胜制最终甲获胜的概率为。
采用五局三胜制最终甲获胜的概率为。
而。可见，采用五局三胜制对甲有利。
32、有甲、乙两口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球。
1）求取到白球的概率；
2）若从乙袋取出白球，问从甲袋中取到哪种颜色的可能性大？
解 （1）令a=“从甲袋中取出的是白球”
b=“从乙袋中取出的是白球”则。
故从甲袋中取出的球是白球的可能性大。
33、玻璃杯成箱**，每箱20只，设每箱含0，1，2，只残品的概率分别为.1和0.1，顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看4只，若无残品，则买下，否则，退回。
求（1）售货员随意取一箱，顾客买下的概率；（2）在顾客买下一箱中，没有残品的概率。
解令=“任取一箱中有只残品”， 任取一箱，顾客买下”。
已知，，，且不难算出，。
1）由全概率公式得。
2）由逆概率公式得。
34、一大批产品，次品率为0.1，每次任取一件，取后不还原，求三次中恰有两次取到次品的概率。
解 =0.027
35、某工厂每天用水量保持正常的概率为，求一周内用水量至少5天保持正常的概率。解。b）
1、设有个质点，每个质点都以概率落入（）个盒子中的每一个里，对质点和盒子在以下三种假定下，求事件：“某预先指定的个盒中各含一质点”的概率：
1）（麦克斯韦尔-波尔茨曼maxwell-boltzmann）假定n个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限；
2）（包泽-爱因斯坦bose-einstein）假定n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点；
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