习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若xn=a,则对任何自然数k，有xn+k=a.
证：由，知，，当时，有。
取，有，，设时（此时）有。
由数列极限的定义得。
2. 试利用不等式说明：若xn=a,则∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立。证：而。
于是， 即
由数列极限的定义得
考察数列 ，知不存在，而，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：
证：（1）因为
而且 ，所以由夹逼定理，得。
2）因为，而且，所以，由夹逼定理得。
4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在。
1) xn=，n=1,2,…；
2) x1=,xn+1＝,n=1,2,….
证：（1）略。
（2）因为，不妨设，则。
故有对于任意正整数n，有，即数列有上界，又而，所以即 ，即数列是单调递增数列。
综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。
习题2-21※. 证明： f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
证：先证充分性：即证若，则。
由及知：,当时，有，当时，有。
取，则当或时，有，而或就是，于是，当时，有，所以 .
再证必要性：即若，则，由知，，当时，有，由就是或，于是，当或时，有。
所以。综上所述， f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
2. (1) 利用极限的几何意义确定(x2+a),和；
2) 设f(x)=，问常数a为何值时， f(x)存在。
解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故。
当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故。
（2）若存在，则，由（1）知 ，所以，当时，存在。
3. 利用极限的几何意义说明sinx不存在。
解：因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。
习题2-31. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量。
解：例1：当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。
例2：当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。
例3：当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。
2. 判断下列命题是否正确：
1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；
2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；
3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；
4) 有限个无穷小量之和为无穷小量；
5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；
6) y=xsinx在(-∞内无界，但xsinx≠∞；
7) 无穷大量的倒数都是无穷小量；
8) 无穷小量的倒数都是无穷大量。
解：（1）错误，如第1题例1；
（2）正确，见教材§2.3定理3；
（3）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量；
（4）正确，见教材§2.3定理2；
（5）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量；
（6）正确，因为，正整数k，使，从而，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即时，不无限增大，即；
7）正确，见教材§2.3定理5；
8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量。
1) f(x)=,x→22) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞
3) f(x)=,x→0+，x→04) f(x)= arctanx,x→+∞
5) f(x)= sinx,x6) f(x)= x→∞.
解：（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。
（2）从的图像可以看出，，所以，当时，时，是无穷大量；
当时，是无穷小量。
（3）从的图可以看出，所以，当时，是无穷大量；
当时，是无穷小量。
（4），当时，是无穷小量。
（5）当时，是无穷小量，是有界函数，是无穷小量。
6）当时，是无穷小量，是有界变量，是无穷小量。
习题2-41.若f(x)存在， g(x)不存在，问［f(x)±g(x)］,f(x)·g(x)］是否存在，为什么？
解：若f(x)存在， g(x)不存在，则。
1）［f(x)±g(x)］不存在。因为若［f(x)±g(x)］存在，则由或以及极限的运算法则可得g(x)，与题设矛盾。
2）［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：，，则，不存在，但［f(x)·g(x)］=存在。
又如：，，则，不存在，而。
f(x)·g(x)］不存在。
2. 若f(x)和g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，证明f(x)≥g(x).
证：设f(x)=a， g(x)=b，则，分别存在，，使得当时，有，当时，有。
令，则当时，有。
从而，由的任意性推出即。
3. 利用夹逼定理证明：若a1,a2，…，am为m个正常数，则。
a,其中a=max.
证：因为，即。
而，，由夹逼定理得。
4※. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1＝,x2=,…xn+1=（n=1,2,…）则xn存在，并求该极限。
证：因为有。
今设，则，由数学归纳法知，对于任意正整数n有，即数列单调递增。
又因为，今设，则，由数学归纳法知，对于任意的正整数 n有，即数列有上界，由极限收敛准则知存在。
设，对等式两边取极限得，即，解得，（由极限的保号性，舍去），所以。
5. 求下列极限：
解：（1）原式=；
2）因为，即当时，是无穷小量，而是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：；
而，4）；
6. 求下列极限：
解：8）（无穷小量与有界函数之积为无穷小量）
11）当时，是无穷小量，是有界函数，它们之积是无穷小量，即。
习题2-5求下列极限(其中a＞0,a≠1为常数）：
123. xcotx;
解：1.；
8.令，则，当时，9.
（利用了第8题结论）；
13.令，则，当，14.令，则，当，习题2-6
1. 证明： 若当x→x0时， (x)→0,β(x)→0,且(x)≠0，则当x→x０时， (x)～βx)的充要条件是＝０.
证：先证充分性。
若＝０，则＝0,即，即。
也即，所以当时，.
再证必要性：
若当时，，则，所以＝＝.
综上所述，当x→x0时， (x)～βx)的充要条件是。
2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明 (x)=0.证： 即。
3. 证明： 若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量。
证： ∵当x→0时， f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)
于是： 当x→0时， ,而当x→0时， ,由前面所证的结论知， ,所以，当x→0时，是x的3阶无穷小量。
4. 利用等价无穷小量求下列极限：
1) (b≠02) ；
56) (a≠b)；
78) 设＝100,求f(x).
解 8)由，及知必有，即。
所以。习题2-7
.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：
1) f(x2) f(x)＝
解： (1)
f(x)在x=0处右连续，又。
f(x)在x=1处连续。
又。 f(x)在x=2处连续。
又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续，综上所述， f(x)在[0,2]上连续。图形如下：图2-1
f(x)在x=1处连续。又 故。
f(x)在x=-1处间断， x=-1是跳跃间断点。
又f(x)在显然连续。
综上所述函数f(x)在x=-1处间断，在上连续。图形如下：
图2-22. 说明函数f(x)在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同？又有什么联系？
略。3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在？试举例说明。
概率统计第二章习题详解
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第二章习题详解 复旦版
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