作业13 协方差和相关函数(ⅱ)矩、协方差矩阵。
一、设随机变量在区域上服从均匀分布，求的相关函数。
解：的联合密度函数为：
二、设随机变量的密度函数为，，试证明与既不相关，也不独立。
证明： 因。
故与不相关。因与的独立性无法求出，故用反证法，假设与独立，对，有。
若取，则。三、设随机变量、、两两独立，且数学期望均为，方差均为，试求与的相关系数。
四、设随机变量在区域，令。
试求和的相关系数。
五、设随机变量的分布律为。
验证和是不相关的，但和不是相互独立的。
六、已知随机变量与的联合分布为二维正态分布，其边缘分布分别服从正态分布分别服从正态分布，他们的相关系数。设，试求的数学期望和方差； 与的相关系数；与是否相互独立？为什么？
七、设随机变量的联合分布律为。
期中，试求与的协方差矩阵。
八、随机变量服从二维正态分布，且协方差矩阵为，与的相关系数。
九、对于任意随机事件，设随机变量。
试证“随即变量和不相关”当且仅当“事件独立”.
第四单元单元练习。
一、填空题。
1．设随机变量表示此独立重复射击命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为，则。
2. 设， ,服从参数为3的指数分布，且相互独立，则。
3. 设随机变量的密度为。
则。4. 设随机变量的密度函数，则。
二、选择题。
1. 有一群人受某种疾病感染患病的占。现随机地从他们中抽出人，则期中患病人数的数学期望和方差分别是[ d ]
2.设二维随机变量服从二维正态分布，则随机变量与不相关的充分必要条件为[ b ]
3. 已知随机变量服从二项分布，且， ,那么二项分布的参数的值为[ ]
三、计算题。
1 .设随机变量服从泊松分布，且，求的期望与方差。
2 .设随机变量服从参数为1的指数分布，求。
3 .若事件在第次试验**现的概率为，是事件在次独立试验**现的次数，试求的期望与方差。
4 .设件产品中的。
一、二、三等品率分别为和。现从中随机地取件，并记。
求。5 .某个书店每天接待名顾客，每位顾客的消费额（单位：
元）服从上的均匀分布，且顾客的消费额相互独立。（1）试求该书店的日平均消费额；（2）试问每天平均有几位顾客的消费额超过50元。
四、综合题。
1 .甲，乙两队比赛，若有一队先胜4场，则比赛结束。假定甲队在每场比赛获胜的概率为，乙队为，求比赛场数的数学期望及甲队先胜4场的概率。
2 .若在件产品中有件不合格品，从中任意抽取件进行检查，求查得不合格产品数的数学期望和方差？
3 .设，且它们的相关系数，令，试确定的值，使，且不相关。
4 .有把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把能打开门上的锁。用它们去试开门上的锁（设每次取到每只钥匙是等可能的），求试开次数的数学期望和方差。
假设（1）钥匙试开一次后不放回；（2）钥匙试开一次后仍放回。
5 .在一个半径为的半圆周上任取一点与该半圆直径构成三角形，设在半圆周上服从均匀分布，求三角形面积的平均值。
五、证明题。
1 .设随机变量、二阶矩存在，试证。
2.若随机变量的联合密度为。
试证：既不相关也不独立。
作业14 大数定理、中心极限定理(ⅰ)
一、设随机变量序列，…,是相互独立的，对于每一个固定的，的分布律为。
试证随机变量序列，…,服从大数定律。
证明： 从而有，
故。由夹逼准则得：
故随机变量序列，…,服从大数定律。
二、设随机变量序列，…,是独立同分布且。
试证随机变量序列依概率收敛。
证明： 故。
故。即依概率收敛。
三、设随机变量独立同分布， ,求。
解：因独立同分布，由中心极限定理。
从而 四、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随。
机地取16只，设它们的寿命是相互独立的。试求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
解：设每只元件的寿命为，，则由条件独立同服从参数为100的指数分布。故。
由中心极限定理
五、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，齐数学期望为mm，均方差为mm，规定总长度为mm时产品合格，试求产品合格的概率。
解：设各部分长度为，则它们独立同分布。
总长度为：，依题意，由中心极限定理：
六、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为kg均方差为kg，问5000只零件的总重量超过kg的概率是多少？
解：设各零件的重量为，则它们独立分布。
总重量为，依题意，
由中心极限定理
作业15 大数定理、中心极限定理(ⅱ)
一、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在上服从均为分布。
1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？
2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？.
解： (1)设每个数据的舍入误差为，，则独立同服从上的均匀分布，
查表得， 二、假设生男孩的概率为0.515，某医院今年共出生500个新生婴儿，求该医院今年出生的新生婴儿中男婴人数多于女婴人数的概率。
解：设为500个婴儿中男孩的个数，则。
由中心极限定理，所求为：
三、某车间有同型车床200台，假设每台开动的概率为0.7，且开关是相互独立的，设每台的耗电量为kw，试问最少需耗多少电力，才能以的把握满足该车间生产？
解：设最少供给电力为kw，满足要求。
设某时刻同时开动的车床数为，则。
由中心极限定理得出：
查表得。四、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占，以表示在随机抽查的100个索赔户因盗窃而向保险公司索赔的户数。
1） 写出的概率分布；
2） 求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。
解：（1）由题意知，故的概率分布为：
（2）由中心极限定理。
五、某打靶场根据以往经验，得10分的概率为0.4，得9分的概率为0.3，得8分的概率为0.
2，得7分的概率和得6分的概率都为0.05.现射击500次，（1）求总分多于4500分的概率；（2）总分介于4400到4500分之间的概率。
解：（1）记为第次打靶所得分，则由题意得。
设总分为，则，即。故
第四章单元练习。
一、填空题。
1 .设随机变量的数学期望，方差，则由切比雪夫不等式，有。
2 .设随机变量和的数学期望分布为和，方差分别为和，而相关系数为，则根据切比雪夫不等式。
3 .在天平上重复称量一质量为的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布，若以表示称量结果的算术平均值，则为使的的最小值不应小于自然数。
4 .设随机变量在上均匀分布，若由切比雪夫不等式有，则。
5.将一枚骰子重复掷次，则当时，次掷出点数的算术平均值依概率收敛于。
二、选择题。
1.设随机变量序列，…,是独立同分布的，其分布函数为，则辛钦大数定理对此序列[ c ]
适用当常数取适当数值时适用；
不适用无法判断。
2.设，…为相互独立具有相同分布的随机变量序列，且服从参数为的指数分布，则下面正确的是[ b ]
其中为标准正态分布的分布函数。
3 .设相互独立的随机变量序列，…,有相同的分布，且存在，则对于任意给定的，有[ a ].
; a、b、都不正确。
4.设随机变量序列，…,相互独立，，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当充分大时近似服从正态分布，只要，…,c ].
有相同的期望和方差服从同一离散型分布；
服从同一指数分布服从同一连续型分布。
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