1(1) 设随机事件a，b满足关系，则下列表述正确的是(d ).
a) 若a发生， 则b必发生。 (b) a , b同时发生。 (c) 若a发生， 则b必不发生。 (d) 若a不发生，则b一定不发生。
(2) 设a表示“甲种商品畅销， 乙种商品滞销”, 其对立事件表示( d ).
a) 甲种商品滞销， 乙种商品畅销。 (b) 甲种商品畅销， 乙种商品畅销。
c) 甲种商品滞销， 乙种商品滞销。(d) 甲种商品滞销， 或者乙种商品畅销。
4. 设a, b为随机事件， ,求。
解由公式可知，. 于是。
3. 袋中有9个球， 其中有4个白球和5个黑球。 现从中任取两个球。 求：
1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的， 另一个是黑的概率；
3）至少有一个黑球的概率。
解从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道。
1) 两球都是白球的概率是；
2) 两球中一黑一白的概率是；
3) 至少有一个黑球的概率是1.
6. 已知， ,求a, b, c全不发生的概率。
解因为，所以=0, 即有=0.
由概率一般加法公式得。
由对立事件的概率性质知a ,b, c全不发生的概率是。
6. 一袋中装有5只球， 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球， 以x表示取出的3只球中的最大号码， 写出随机变量x的分布律。
解从1，2，3，4，5中随机取3个，以x表示3个数中的最大值，x的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有种取法。表示取出的3个数以3为最大值，p==;表示取出的3个数以4为最大值，p=;表示取出的3个数以5为最大值，p=.
x的分布律是。
6. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品， 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.
03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查。
(1) 求这件产品是次品的概率；(2) 已知抽得的一件是次品， 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？
解设a表示“取到的是一件次品”, i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知，是样本空间s的一个划分， 且，.
1) 由全概率公式可得。
2) 由贝叶斯公式可得。
1. (1) 设随机事件a与b互不相容， 且有p(a)>0, p(b)>0, 则下列关系成立的是( b ).
a)a, b相互独立。 (b)a, b不相互独立 (c)a, b互为对立事件 (d)a, b不互为对立事件。
(2) 设事件a与b独立， 则下面的说法中错误的是( d ).a)与独立b)与独立(c). d) a与b一定互斥。
3) 设事件a与 b相互独立， 且0(a) .
(b) .c) a与b一定互斥。
(d).5. 甲、乙两人各自向同一目标射击， 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：
1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；
2) 恰有一人命中目标的概率；
3) 目标被命中的概率。
解甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件。 于是。
3) 3. 设随机变量x的概率密度为且已知， 求常数k, θ
解由概率密度的性质可知得到k=1.
由已知条件， 得。
3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的。 已知其中有的产品是第一家工厂生产的， 其它二厂各生产。 又知第。
一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品， 第三家工厂生产的产品中有4%是次品。 现从此箱中任取一件产品， 求取到的是次品的概率。
解从此箱中任取一件产品， 必然是这三个厂中某一家工厂的产品。 设a=, bi=, i=1, 2, 3. 由于bibj= (i≠j, i, j=1, 2, 3)且b1∪b2∪b3=s, 所以b1, b2, b3是s的一个划分。
又 p(b1)=,p(b2) =p(b3)=,p(a| b1)=,p(a| b2)=,p(a| b3)=,由全概率公式得p(a)=p(b1)p(a|b1)+p(b2)p(a|b2)+p(b3)p(a| b3)
2. 已知随机变量x只能取-1,0,1,2四个值， 且取这四个值的相应概率依次为。 试确定常数c, 并计算条件概率。
解由离散型随机变量的分布律的性质知，所以。
所求概率为 p=.
4. 在三次独立的重复试验中， 每次试验成功的概率相同， 已知至少成功一次的概率为， 求每次试验成功的概率。
解设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是。 即， 故 =.
2 设d(x)=4, d(y)=6, ρxy=0.6, 求d(3x-2y) .
解 2. 设随机变量x的分布函数为。
f(x) =a+barctanx -∞试求： (1) 常数a与b; (2) x落在(-1, 1]内的概率。
解 (1) 由于f(-∞0, f(+∞1, 可知。于是。
1.(1) 设如果c=( c ),则是某一随机变量的概率密度函数。 (a) (b). c) 1. (d).
2) 设又常数c满足， 则c等于( b )
(a) 1. (b) 0. (c) .d) -1.
(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( d ).
a) (b)
c) (d)
4) 设随机变量， ,则( a ).
a) 对任意的实数b) 对任意的实数。
c) 只对实数的个别值， 有。 (d) 对任意的实数。
(5) 设随机变量x的概率密度为， 且， 又f(x)为分布函数， 则对任意实数， 有( b ).
a). (b).
c). d).
6) 设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则下式中成立的是( a ).
a) σ1 < 2. (b) σ1 > 2. (c) μ1 <μ2. (d) μ1 >μ2
(7) 设随机变量x服从正态分布n(0,1), 对给定的正数， 数满足， 若， 则等于(c ).
a) (b) (c). d).
3. 设随机变量x有概率密度。
要使(其中a>0)成立， 应当怎样选择数？
解由条件变形，得到，可知， 于是， 因此。
7. 设随机变量x的概率密度为。
对x独立观察3次， 求至少有2次的结果大于1的概率。
解根据概率密度与分布函数的关系式，可得。
所以， 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为。
8. 设， 求关于x的方程有实根的概率。
解随机变量x的概率密度为。
若方程有实根， 则≥0, 于是≥2. 故方程有实根的概率为p=
9. 设随机变量。
1) 计算， ,
2) 确定c使得。
3) 设d满足， 问d至多为？
解(1)由p.
于是随机变量的概率密度函数为。
即。3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光， 电梯于每个整点的第分钟、第分钟和第分钟从底层起行。
假设一游客在早八点的第x分钟到达底层侯梯处， 且x在区间[0, 60]上服从均匀分布。 求该游客等候电梯时间的数学期望。
解已知x在[0,60]上服从均匀分布， 其概率密度为。
记y为游客等候电梯的时间，则。
因此11.67(分钟)..
4. 某保险公司规定， 如果在一年内顾客的投保事件a发生， 该公司就赔偿顾客a元。 若一年内事件a发生的概率为p, 为使该公司受益的期望值等于a的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？
解设保险公司要求顾客交保费c元。 引入随机变量。
则。 保险公司的受益值。
于是据题意有， 因此应要求顾客角保费。
1. (1) 已知则。
a) (b). c). d).
2) 设， 则有( c ).
a). b).
c). d).
(3) 设x与y相互独立，且都服从， 则有( d ).a). b).(c) (d).
4) 在下列结论中， 错误的是( b ).
a) 若。b) 若，则。
c) 若x服从泊松分布， 则。
d) 若则。
2. 已知x, y独立， e(x)= e(y)=2, e(x2)= e(y2)=5, 求e(3x-2y),d(3x-2y).
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