第二章参数估计。
考试要求：理解：参数的点估计，估计量和估计值。
了解：估计量的无偏性，有效性，一致性，区间估计。
掌握：矩估计法和最大似然估计法。
会：验证估计量的无偏性。
单个正态总体的均值和方差的置信区间。
两个正态总体的均值差比的置信区间。
数学三还要求：
掌握：建立未知参数的置信区间的一般方法。
单个正态总体的标准差，矩以及与其相联系的数字特征，置信区间的求法。
两个正态总体相关数字特征的置信区间的求法。
会：用大数定律证明估计量相合性。
1 点估计。
一．点估计的概念。
用样本构造的统计量来估计未知参数，统计量称为估计量，它所取得的观测值称为估计值，估计量和估计值统称的估计。
二．估计量的选择标准。
1． 无偏性：
2． 有效性：如果和都是的无偏估计量，且，则称比
更有效。3． 一致性（相合性）：，称为的一致估计量。
例设总体的数学期望存在，，从来自总体的样本的样本均值，试证是的无偏估计量。
例设总体的数学期望和方差分别为，是来自总体的样本，记。
1）试证：是的无偏估计；
2）确定使最小。
2 估计量的求法。
一． 矩估计法。
用样本估计相应的总体矩，用样本矩的函数估计总体矩相应函数。
1． 矩估计不必知道分布形式，只要矩存在。
2． 可用中心矩，也可用原点矩。
3． 个参数要求列出一阶至阶矩方程。
考试大纲只要一阶矩和二阶矩。
4． 为一阶、二阶原点矩，为一阶、二阶样本原点矩，就是的矩估计量。
二．最大似然估计法。
1．似然函数。
离散型 连续型。
2．最大似然估计。
使似然函数达到最大值的参数值。
3．似然方程。
为一维时，或。
为二维时， 或
3 区间估计。
一． 置信区间。
对于给定的，如果两个统计量满足，则称随机区间为参数的置信水平（或置信度）为的置信区间（或区间估计），简称为的的置信区间，分别称为置信下限和置信上限。
二． 一个正态总体参数的区间估计。
三． 两个正态总体参数的区间估计。
例设来自正态总体的样本值，则未知参数的置信水平为0.95的置信区间是。
例 （05）设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是。
4 典型例题分析。
例1．设为总体的一个样本，已知为的无偏估计，则常数等于。
例2．（05）设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，。
求：（）的方差，；
）的协方差；
）若是的无偏估计量，求常数；
例3．从总体中分别抽取容量为的两个独立样本，样本均值分别为，且和，已知为的无偏估计量，试求：
1） 常数应满足的条件；
2） 使达到最小值的。
例4．设是来自总体的样本，已知，证明是的无偏估计量。
例5．(04)设随机变量的分布函数为，其中参数，设为来自总体的简单随机样本，）当时，求未知参数的矩估计量；
i）当时，求未知参数的最大似然估计量；
）当时，求未知参数的最大似然估计量。
例6．设某种元件的使用寿命的概率密度为。
其中为未知参数，又设是的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值。
例7．设总体，是来自总体的样本，试求：参数的最大似然估计。
例8．设总体的概率分布为，其中是未知参数，利用总体的如下样本值：
求的矩估计值和最大似然估计值。
例9．（06）设总体的概率密度为，其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数，求（i）的矩估计； （ii）的最大似然估计。
概率论习题
1.证明不等式 设是随机变量，则。其中，式中等号成立的充要条件 当时是 当时是同号 当时是中至多有一个不为零。证明 的情形 设是以概率分别取为值的随机变量，则。利用不等式 取 则 对上式两端取数学期望得 在上式中等号成立的充要条件是，再由绝对值的性质知中等号成立的充要条件是。的情形 只需证明不全为零...
概率论习题
概率论与数理统计练习册。复习题和自测题解答。第一章复习题。1 一个工人生产了n个零件，以事件表示他生产的第i个零件是 i 1，2，3，n 用表示下列事件 1 没有一个零件是次品 2 至少有一个零件是次品 3 仅仅只有一个零件是次品 4 至少有两个零件是次品。解 1 2 任意两个正整数，求它们的和为偶...
概率论习题
郑航2004至2005学年第二学期试题。课程 概率论与数理统计 b卷 考试形式 闭卷。教师姓名 张辉系 部 基础课部。一 填空题 2分 10 20分 1.若事件与满足，已知则。2.若与相互独立，已知则。3.若事件在每次试验中发生的概率为，现进行次重复独立试验，则均不发生的概率为。4.设离散随机变量的...