1 随机变量及其分布函数。
一．随机变量。
样本空间上的实值函数，。常用表示。
二．随机变量的分布函数。
对于任意实数，记函数，
称为随机变量的分布函数；
的值等于随机变量在内取值的概率。
三．分布函数的性质。
1），记为；
记为。2）是单调非减，即时，
3）是右连续，即。
4）对任意，有。
5）对任意，
性质（1）—（3）是成为分布函数的充要条件。
例设随机变量的分布函数为，其中是常数，求常数及。
2 离散型随机变量和连续型随机变量。
一．离散型随机变量。
随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。
二．离散型随机变量的概率分布。
设离散型随机变量的可能取值是。
称为的概率分布或分布律。
分布律性质：（1）
分布律也可表示为。
三．离散型随机变量分布函数。
例1求。四．连续型随机变量及其概率密度。
设的分布函数，如存在非负可积函数，有。
称为连续型随机变量，为概率密度。
概率密度性质：
4）的连续点处有。
例已知和均为概率密度，则必满足。
3 常用分布。
一．（0—1）分布
二．二项分布。
三．超几何分布 ，四．泊松分布。
例设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为，则这段时间内至少有两辆车通过的概率为。
五．均匀分布。
例设随机变量在上服从均匀分布，则方程。
有实根的概率是。
六．指数分布，
七．正态分布 ，
标准正态分布， 如果，则。
例，且，则。
4 随机变量的函数的分布。
一．离散型随机变量的函数分布。
设的分布律，
则的分布律，
如果相同值，取相应概率之和为取该值概率）
二．连续型随机变量的函数分布。
1．公式法：的密度单调，导数不为零可导，是其反函数，则的密度为。
其中是函数在可能取值的区间上值域。
2．定义法： 先求
然后 。5 典型例题分析。
例1．设随机变量的分布函数。
求的值。例2．设随机变量的分布律为。
试确定常数的值。
例3．汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以表示汽车所遇红灯个数，求的分布及分布函数。
例4．（04）设随机变量服从正态分布，对给定的数满足。
若，则等于。
例5．在区间上任意投掷一点，为这点坐标，设该点落在中任意小区间的概率与这小区间长度成正比，求的概率密度。
例6．，对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
例7．设随机变量服从正态分布，服从正态分布。
且，则必有。
例8．的密度，试求常数。
例9．设服从参数为2的指数分布，证明：随机变量服从。
例10．已知的密度为，求的概率密度。
例11．设随机变量的密度满足，是的分布函数，则对任意实数有。
例12．设随机变量的分布函数为，引入函数，，和，则可以确定也是分布函数为。
例13．设且，则。
例14．设，则随的增大，概率。
单调增大单调减小保持不变非单调变化。
例15．证明具有相同密度，则其分布函数一定满足。
例16．，且，求：（1）的概率密度； （2）。
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