习题四。
1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求的分布列。
解的分布列为。
其中 余者类推。
2．将一枚硬币连掷三次，以表示在三次**现正面的次数，以表示三次**现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出的分布列及边缘分布列。
解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故，于是的分布列和边缘分布为。
其中 ，余者类推。
3．设的概率密度为。
又（1）；（2）。求。解1）
4．设的概率密度为。
求（1）系数；（2）落在圆内的概率。解 （1）
（2）设，所求概率为。
5．已知随机变量和的联合概率密度为。
求和的联合分布函数。
解1 设的分布函数为，则。
解2 由联合密度可见，独立，边缘密度分别为。
边缘分布函数分别为，则。
设的分布函数为，则。
6．设二维随机变量在区域，内服从均匀分布，求边缘概率密度。
解的概率密度为。
关于和的密度为。
7．设的概率密度为。
求边缘密度和概率。
解。8．一电子仪器由两个部件组成，以和分别表示两个部件的寿命（单位：千小时）已知的联合分布函数为：
（1）问是否独立？为什么？
（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率。
解 （1）先求边缘分布函数：
因为，所以独立。
9．设的概率密度为。
间是否独立？
解边缘密度为。
因为 ，所以独立。
10．设的概率密度为。
问是否独立。
解边缘密度。
因为，所以不独立。
11．设的概率密度为。
试证明与不独立，但与是相互独立的。
证先求的联合分布函数。
关于的边缘分布函数为。
关于的边缘分布函数为。
因为，所以不独立。
再证与独立：设的联合分布函数为，则。
关于的边缘分布函数分别为。
因为，所以与独立。
证2 利用随机向量的变换（参见王梓坤《概率基础及其应用》83页）
设 .函数的反函数为的反函数为，；
于是的概率密度函数为。
关于的边缘密度为。
关于的边缘密度为。
因为，所以独立。
12．设随机变量与相互独立，下表列出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值，试将其余值填入表中空白处。
解设。由联合分布和边缘分布的关系知。
由独立性 ，即，故，所以，
所以的分布为。
13．已知随机变量和的概率分布为。
而且 （1）求和的联合分布；
（2）问和是否独立？为什么？
解 （1）知，再由联合分布和边缘分布的关系知的分布为。
（2）因，所以不独立。
14．设随机变量相互独立，且都服从上的均匀分布，求方程有实根的概率。
解设‘方程有实根’，则。发生。即。
当时，图形如下：
15．已知随机变量和的联合分布为。
试求：（1）的概率分布；（2）的概率分布。
解 （1）的分布为。
（2）的分布为。
16．设与为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为，，求的分布列。
解设，的分布为。
17．设是相互独立的随机变量，它们都服从参数为的二项分布，证明服从参数为的二项分布。
证 故服从参数为的二项分布。
注：此处用到一个组合公式：
此公式的正确性可直观地说明如下：从个不同的元素中取个共有种不同的取法。从另一个角度看，把个元素分布两部分，一部分有个，另一部分有个，从第一部分中取个再配上从第二部分中取个，不同的取法共，让从变到，总的取法是，这两种取法应相等。
18．设相互独立，其概率密度分别为。
求的概率密度。
解1 设，由卷积分式，的概率密度为。
不等式确定平面域如图。
当时， 当时，
当时， 综上所述。
解2 变量代换法：
注意到当时=1，有。
因。所以，当时，当时，当时，.
综上所述。解3 分布函数法：设的分布函数为，则。
的概率密度为。
19．设部件的寿命，的寿命，按下图联结构成系统，即当部件损坏时，部件立即开始工作，求系统的寿命的概率密度。
解的密度为
的密度为。设的密度为，则。
当时， 当时，
当时。综相所述的密度为。
20．设的概率密度为。
求的概率密度。
解1 利用的密度公式：，取得。
其中。不等式确定平面域如图。
当或时，当时，即。
解2 设的分布函数为，密度为，则。
于是。21．设随机变量的概率密度为。
求的概率密度。
解设的分布函数为，则。故。故。
22．设随机变量与独立，，，试求的概率密度。
解1 由卷积公式。
其中。不等式确定平面区域：
当时。解2 用变量代换：
因为所以当时。
23．设随机变量的概率密度为。
求的分布函数。
解 24．设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为和的矩形面积的概率密度。
解1 设矩形的面积为，则，又设的分布函数为，则。
其中。于是。
解2 利用乘积的密度公式。
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