十、概率论与数理统计。
一、填空题。
1、设在一次试验中，事件a发生的概率为p。现过行n次独立试验，则a至少发生一次的概率为；而事件a至多发生一次的概率为。
2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。
解：用代表“取第i只箱子”， 1，2，3，用b代表“取出的球是白球”。由全概率公式。
由贝叶斯公式。
3、 设三次独立试验中，事件a出现的概率相等。若已知a至少出现一次的概率等于19/27，则事件a在一次试验**现的概率为 。
解：设事件a在一次试验**现的概率为，则有，从而解得。
4、已知随机事件a的概率，随机事件b的概率及条件概率，则和事件的概率= 。
5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。
用a代表事件“甲命中目标”，b代表事件“乙命中目标”，则代表事件“目标被命中”，且。
所求概率为。
6、 设随机事件a，b及其和事件的概率分别是0.4，0.3和0.6。若表示b的对立事件，那么积事件的概率 。
因为，故。7、 已知，，，则事件a、b、c全不发生的概概率为 。
由，得，所求事件概率为。
8、 一批产品共有10个**和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。
用代表事件“第i次抽次品”，i=1，2。则所求概率为。
9、已知a、b两个事件满足条件，且，则 。由。得
10、设工厂a和工厂b的次品率分别为1%和2%，现从由a和b的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属a生产的概率是 。
用a和b分别代表产品是工厂a和工厂b生产的，c代表产品是次品，则所求概率为。
11、在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为 。
用x和y分别表示随机抽取的两个数，则，.
x，y取值的所有可能结果(即样本点全体)对应的集合为以1为边长的正方形，其面积为1，事件“”对应图中阴影部分a，a的面积为
12、 随机地向半圆(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为 。
半圆也即样本空间的面积为，所求事件对图中阴影部分即区域a的面积为，故得所求事件概率为。
13、 若随机变量在(1，6)上服从均匀分布，则方程有实根的概率是 。
14、已知连续随机变量x的概率密度函数为，则x的数学期望为 ；x的方差为 。
将改写为。可见x服从正态分布，所以，.
15、设随机变量x服从均值为10，均方差为0.02的正态分布。已知，，则x落在区间(9.95，10.05)内的概率为 。
16、已知随要变量x的概率密度函数，，则x的概率分布函数。
17、 已知离散型随机变量x服从参数为2的泊松 (poisson)分布，即，，1，2，…，则随机变量的数学期望 。
18、设随机变量x服从参数为1的指数分布，则数学期望= 。
19、设随机变量x服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量在(0，4)内概率分布密度= 。
的反函数，.
即 ，.20、 设x表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则的数学期望，21、 设相互独立的两个随机变量x，y具有同一分布律，且x的分布律为：
则随机变量的分布律为。
22、设x和y为两个随机变量，且。
则。记，.则，从而。
23、设，是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学期望。
记。则z~n(0,1)。从而。
24、 若随机变量x服从均值为2，方差为的正态分布，且，则。
由于x的密度函数关于x=2为轴对称。 故 ，，从而。
25、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 。
令b=，则=；a=. 据全概率公式。
26、 设平面区域d由曲线及直线，，所围成，二维随机变量(x，y)在区域d上服从均匀分布，则关于x的边缘概率密度在x=2处的值为 。
区域d的的面积为，故(x, y)的联合概率密度为(x,y)关于x的边缘概率密度为。
故。27、 假设，，那么。
(1) 若a与b互不相容，则。
2) 若a与b相互独立，则。
(2) 由。
得 28、 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为 。
设命中率为，则至少命中一次概率为，由，解得。
29、 设a，b为随机事件，，，则 。
由，得，故。
30、 将c，c，e，e，i，n，s第七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词science的概率为 。
31、设对于事件a，b，c有，，，则a，b，c三个事件至少出现一个的概率为 。
32、 假设一批产品中。
一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 。
记事件“取出的产品为第i等品”，i=1，2，3。则a1，a2，a3互不相容，所求概率为。
33、 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率，以x表示3个零件中合格品的个数，则= 。
用表示事件“第i个零件是合格品”，则，，所求概率。
34、 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。
用a，b分别代表取出的第1和第2件为**，则所求概率为。
35、 设随机变量的分布函数为。
则a右连续，由得出。
36、 设随机变量，，相互独立，其中在[0，6上服从均匀分布，服从正态分布，服从参数为的泊松分布。记，则dy
37、设随机变量x的数学期望，方差，则由切比雪夫(chebyshev)不等式，有。
38、 已知随机变量(–3，1)，y~n (2，1)，且x，y相互独立，设随机变量，则z~。
z为正态随机变量的线性组合，仍然服从正态分布，且，故z~n(0,5)。
39、设随机变量x的分布函数为。
则x的概率分布为。
由公式算出，。
40、设随要变量x的概率密度为。
以y表示对x的三次独立重复观察中事件出现的次数，则 。
y~b(3,p)，其中，故。
41、设x是一个随机变量，其概率密度为。
则方差 。42、设总体x的的方差为1，根据来自x的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则x的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为。
43、设，…，是来自正态总体的简单随机样本，其中参数和未知，记，，则假设的t检验使用统计量 。
44、设由来自正态总体容量为9的简单随机样本得样本均值，则未知参数的置信度为 0.95的置信区间是 。
45、设随机变量x和y相互独立且都服从正态分布，而和，…，分别是来自总体x和y的简单随机样本，则统计量服从分布，参数为 。由于，故。
再，据t分布的定义，有。
46、 设a，b是任意两个随机事件，则p}=0。
47、 设随机变量x服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量y服从参数为(3，p)的二项分布。若，则= 。
由于，故由，得。从而
48、 设x1，x2，x3，x4是来自正态总体n (0，22)的简单样本，，则当时，统计量x服从分布，其自由度为 。
服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，因为，，故。同理，。因为。
49、设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 。
二项分布的标准差为，已知，又，其中等号当且仅当时成立，故当时试验成功次数的标准差最大，其最大值为5。
50、从1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从中任取一个数，记为y，则。
二、选择题。
1、 设两个相互独立的随机变量x和y的方差分别为4和2，则随机变量3x–2y的方差是。
a) 8. (b) 16. (c) 28. (d) 44.
2、 设a、b是两个随机事件，且，，，则必有。
(ab) (cd)
由题设知，故不能判与之间的关系，因此不选(a)或(b)。
由，及知，故，即应选(c)。
3、 若二事件a和b同时出现的概率，则。
(a) a 和b不相容 (相斥). b) ab是不可能事件。
(c) ab未必是不可能事件 (d) p(a)=0或p(b)=0.
4、 对于任意二事件a和b，有p(a–b)=
(ab).(cd).
5、以a表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件为。
(a) “甲种产品滞销，乙种产品畅销”. b) “甲、乙两种产品均畅销”.
c) “甲种产品滞销d) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
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