1. 设a,b两厂产品次品率分别为1％和2％，若已知两厂产品分别占总数的60％和40％,现从中任取一件，发现是次品，求此次品是a厂生产的概率。
解：记a=此产品是次品，b=此产品是a厂生产，c=此产品是b厂生产。
p(a)=p(b)p(a|b)+ p(c)p(a|c)=0.6*0.01+0.4*0.02=0.014
p(b|a)= p(b) p(a|b)/p(a)=0.6*0.01/0.014=3/7
贝叶斯公式p21）
2. 设随机变量x在区间[2,5]上服从均匀分布，求对x进行三次独立观测中，至少两次的观测值大于3的概率。
解：x在区间[2,5]上服从均匀分布，即x的密度函数为。
f(x)=1/3 , 2所以 p（3记a=至少两次的观测值大于3
则 p(a)=20/27
均匀分布p41）
3. 已知的联合分布列。
10 1/12 1/3求（1）；(2)；（3）.
解：（1）=-1*5/12+0*1/6+2*5/12=5/12
2）ey=0*7/12+1/3*1/12+1*1/3=13/36
e(y^2)=0*7/12+1/9*1/12+1*1/3=37/108
dy= e(y^2)-(ey)^2=37/108-(13/36)^2=275/1296
3）exy= -13/36
方差p83)
4．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率。
1) 4个球全在一个盒子里；
2) 恰有一个盒子有2个球。
解：（1）记a=4个球全在一个盒子里。
则p(a)=c(4，4)*5/5^4=1*5/5^4=125
（2）记b=恰有一个盒子有2个球。
则p(a)=c(4，2)*5*4*3/5^4=6*5*4*3/5^4=72/125
5．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为。
1) 求常数a; (2) 求p(ξ<1)； 3) 求ξ的数学期望。
解：（1）因为f(x)是一密度函数，所以。
a∫1/(1+x)dx=1
解得 a=1/(2ln2)
2) p(ξ<1)=p(0<ξ<1)+ p(ξ<0)=∫1/dx+0=1/2
3)e ξ=1/xdx=3/(2ln2)-1
连续型随机变量p40，数学期望p80）
6．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,的联合分布是。
1) ξ与η是否相互独立？ (2) 求的分布及；
解：（1）ξ与η不相互独立。
证明：η 1 2 4 50 1 2
p 0.15 0.23 0.34 0.28 p 0.39 0.32 0.29
由于p11=0.05,而p0.=0.39,p.1=0.15，易见p11≠ p0.*p.1
由此，由定义知ξ与η不相互独立。
p 0.39 0.03 0.17 0.09 0.11 0.11 0.10
所以， =3.16
边缘分布p54 随机变量的独立性p59）
7．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？
解：记a=该种子能发芽，b=该种子来自来自发芽率高的1盒，c=该种子来自来自发芽率低的1盒。
则有分解。a=ba∪ca
依假设，p（b）=0.1,p(c)=0.9,p(a|b)=0.9, p(a|c)=0.2
所以，p(a)=0.1*0.9+0.9*0.2=0.27 （全概率公式p20）
p(b|a)= p(b) p(a|b)/p(a)=0.1*0.9/0.27=1/3
贝叶斯公式p21）
8．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标。每射击一次须付费10元。 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止。
若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元。 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望。
解：记x为他在游戏中的收益，则x的分布律为。
x 90 80 70 60 -140
p 0.3 0.21 0.147 0.1029 0.2401
ex=90*0.3+80*0.21+70*0.147+60*0.1029+(-140)*0.2401=26.65
9．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品。问他至少应购买多少零件？
注：,)解：不考。
10.袋中有大小、重量等完全相同的四个球，分别标有数学1，2，2，3，现从袋中任取一球，取后不放回，再取第二次。分别以x、y记第一次和第二次取得球上标有的数字。
求：（1）（x，y）的联合概率分布；（2）x，y的边缘分布；（3）判断x与y是否独立。
解：（1）2）x 1 2 3 y 1 2 3
p 1/4 1/2 1/4 p 1/4 1/2 1/4
3）由于p21=1/6,而p2.=1/2,p.1=1/4，易见p21≠ p2.*p.1
由此，由定义知x与y不相互独立。
11.设连续型随机变量x的概率密度函数为：
1）求x的分布函数f
解：（1）当x<0时，f(x)=∫x) 0dx=0
当0≤x≤1时，f(x)= x) 0dx+∫(0,x) 2xdx=x^2
当x>1时，f(x)= x) 0dx+∫(0,1) 2xdx+∫(1,x) 0dx=1
0 , x<0
所以，f（x）= x^2 ,0≤x≤1
1 , x>1
2）p(0.3(p47 15 p40 例12)
12．（15分）对某一目标依次进行了三次独立的射击，设第一，二，三次射击命中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7，试求：
1）三次射击中恰好有一次命中的概率(8分)；
2）三次射击中至少有一次命中的概率(7分)。
解：（1）0.4*0.5*0.3+0.6*0.5*0.3+0.6*0.5*0.7=0.36
13．设随机变量x的密度函数连续，试求：
1）常数a,b；
2）x的分布函数f(x)；
3）求的密度函数。(每小问各5分)
解。（1）b=2,a=1
14．（10分）设一盒内有2件次品，3件**，进行无放回的抽取，每次取一件产品，用x记第一次抽取所取得次品的个数，y记第二次抽取所取得次品的个数，试求（x,y）的联合分布律。
不做，差不多的题，哈哈。
15．（20分）设二维随机变量（ξ,的联合密度函数为：，试求：
1） 常数c；(4分)
2） e(ξ)e(η)d(ξ)d(η)16分)
16．（10分）一个袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球，现采用不放回方式从中摸球两次，每次一个，求：（1）第2次才取到白球的概率；
（2）第2次取到白球的概率。(每问各5分)
解：（1）记a=第2次才取到白球。
则p(a)= 7*3/(10*9)=7/30
2）记b=第2次取到白球。
则p(b)= 7*3/(10*9)+ 3*2/(10*9)=3/10
17．设随机变量x的密度函数为，1）试确定常数c；(5分)
2）求x的分布函数f(x)；(7分)
3）求p；(5分)
4）求的密度函数。(8分)
18．（10分）设二维随机变量（ξ,的联合分布律为：
1） 求ξ,η的边缘分布律；(6分)
2） 求ξ＋η的分布律。(4分)
19：某产品的质量指标，若要求，问。
允许最多为多少？（附：）
20：对球的直径作测量，设其值于上均匀分布，求体积的分布密度？
21：设（x，y）服从区域g上的均匀分布，其中，求（x，y）的联合分布密度与边缘分布密度？
22：国际市场每年对我国某出口商品的需求量x是一个随机变量，它在（单位：吨）上服从均匀分布，若每售出一吨，可得外汇3万美元，如售不出而积压，则每吨需要保养费1万美元，问应组织多少货源，才能使平均收益最大？
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