第2讲 ch.1 随机事件与概率
1.2 概率的定义及其确定方法。
remarks 本节绪言中的几个问题。
1.概率的直观定义。
事件发生的可能性大小称为概率。
2.关于概率直观理解的一些经验事实。
p.12.3.概率定义的发展过程。
概率的古典定义。
概率的频率定义概率的。
概率的几何定义公理化定义。
概率的主观定义。
1.2.1 概率的公理化定义(概率理论系统化数学定义)
定义1.2.1 设是可测空间,若对任意,定义在上的实值函数满足:
1)非负性公理:若,则;
2)正则性公理:;
3)可列可加性公理:若,,…为同一样本空间下的互斥事件列,则。
我们就称为事件的概率,而称为概率空间。
remark 概率公理化定义并没有具体给出确定事件的概率的方法,但具有理论价值!具体确定事件的概率可依据不同场合选用频率定义法,古典定义法,几何定义法和主观定义法。
1.2.2 排列与组合公式。
确定的古典定义法的基础)
p.13-15(自行复习!)
1.2.3 确定的频率定义法。
1. 频率定义法确定事件的概率的基本思想(步骤):
1)大量重复与有关的试验;
2)记下试验次数,以及发生的次数(称之为事件的频数),则称。
为事件出现的频率;
3)增加试验次数,反复获得更多的,可发现稳定在某个常数附近,则可得。
remarks
如何理解?(讨论题3);
频率定义法确定事件的概率有现实局限性,但也有存在价值;
容易验证频率方法确定的概率满足公理化化定义。
2. (事件的频率的稳定值”即为事件的概率)利用频率定义法确定事件的概率举例。
例1.2.1
1)试验:掷一枚均匀的硬币。记“出现正面”,用频率定义法确定的步骤如下:1)取。
做五批次试验;
2)对应记下的值,分别为。
1061,2048,4979,6019,12012,进而利用。
计算出的值分别得。
3)容易看出的值稳定在0.5附近,于是,可得。
2)(看书理解!)
3) (看书理解!)
1.2.4 确定的古典定义法。
(这是确定概率的经典方法)
1.古典定义法的特点与基本思想。
特点:直观且不必大量试验,只基于事实分析。
方法步骤:1)确认与事件有关的随机问题为古典概率模型,并确定其包含的样本点总数(记为),同时确定事件包含的样本点数(记为);
2)利用。计算得到事件的概率。
remarks
古典概率模型简称古典概型,是指满足以下两个条件的概率模型:
1)其包含的样本点总数有限;(即满足有限性)
2)其包含的每一个样本点出现具有等可能性;(即满足等可能性)
容易验证古典定义法确定的概率满足公理化化定义;
利用古典定义法计算概率的前提是要确认所涉及的模型必须是古典概型。而其关键则是运用枚举法或排列组合方法确定算出和,值得提醒的是一般而言易算难求。
2. 古典定义法求举例。
一般步骤:1)给定事件记号的含义。(若题目已交待清楚则此步省这一步称为符号准备)
2)确认古典概型,并算出和。(称为数据准备)
3)利用。称为依据与计算)
计算得到。例1.2.2 同掷两枚均匀的硬币,求掷出一个正面一个反面的概率?
解记。掷出一个正面一个反面”.
易见其样本空间为。
正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.
该包含的样本点总数(有限),又由于硬币是均匀的可判定该中的每一个样本点具有等可能性。而事件包含中的(正,反)和(反,正)这两个样本点,所以有。于是。
remark
本例若认为其样本空间为:
{(二正),(二反),(一正一反)}.
则因其中的样本点不具有等可能性,从而不能用古典定义法求。
此外要请大家注意的是,解答过程在熟练后可写得简洁些!但要有条理,希望通过例子体会!
例1.2.3 (抽样模型) 一批产品共件,其中件是次品,其余为合格品,从中随机取出件,求事件“取出的件产品中有件次品”的概率?
解判断可知,该模型为古典概型,其包含的样本点总数(记为),而事件包含的样本点数为,于是。
其中,,…举一个具体例子:取,则有。
此表中的实际上是一个,概率论(在本教材第二章)中称该表为的(概率)分布。
例1.2.4 (有放回抽样模型) 一批产品共件,其中件是次品,其余为合格品,从中有放回随机抽检件,求事件“抽检的件产品中有件次品”的概率?
解判断可知,该有放回抽样模型也为古典概型,其包含的样本点总数(记为),而事件包含的样本点数为,于是,.
又若记(次品率),则。
举一个具体例子:取,则有。
此表理解为的(概率)分布,且易见。
例1.2.5 (彩票问题)
彩票游戏“35选7”的七个中奖等级“设置”见教材表,试求:投入2元购买1注(从1~35号码选择7个号码来买)中得各等级奖的概率?
解记。投入2元购买1注中得等级奖”,而判断可知,彩票问题为古典概率模型问题,其包含的样本点总数为。
而事件包含的样本点数分别为。
于是,由古典定义方法可算出投入2元购买1注中得各等级奖的概率可列表如下:
remarks
上表是彩票游戏“35选7”的中奖情况及其对应概率表,一般彩民不具体知道,投注站也不会挂出此类表。
若记“中奖”,则“不中奖”,根据上表提前用§1.3的结论可得。
可见“中奖”是小概率事件,“中大奖”更是小概率事件。概率论关于小概率事件发生情况的实际推断原理指出:小概率事件实际上在一次或少数几次试验中是不可能发生的(因之小概率事件常被称为实际不可能事件);然而小概率事件在大量的试验中至少发生一次的概率几乎为1.
中的有关说明欠妥!应该说“随机购买100注这种彩票平均有约3注中奖;…”
例1.2.6 (盒子模型,也称分房模型) 设有个球,每个球都等可能地放到个盒子中的任一个,每一个盒子的放球数不限,试求。
(1)指定的()个盒子中各有一个球的概率;
2)恰好有()个盒子中各有一个球的概率。
解判断可知,盒子模型为古典概率模型,其包含的样本点总数为。
于是。1)由于事件“指定的个盒子中各有一个球”包含的样本点数为,可得。
2)由于事件“恰有个盒子中各有一个球” 包含的样本点数为,可得。
remark
盒子模型的研究对统计物理的研究有很好的启发作用。
例1.2.7 (生日问题) 观察个人的生日情况,求个人生日全不相同的概率。
解易见该问题实际可看成“个球365个盒子的盒子模型”,于是,利用上例的结论得。
remark
的近似计算与结果说明:
1.2.5 确定的几何定义法。
1. 方法简介。
几何方法用于解决几何概型(指满足这样两个条件的概率模型:其包含的样本点充满某个区域;其包含的每一个样本点出现具有等可能性。)的概率计算问题。
2. 基本思想(方法步骤):
1)确认与事件有关的随机问题为几何概型,并运用初等几何知识确定其及事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积),分别记为和;
2)利用。计算得到事件出现的概率。
3. 几何定义法求举例。
一般步骤:1)给定事件记号的含义。(若题目已交待清楚则此步省符号准备)
2)确认几何概型。通过引入必要的坐标变量以此表示集合形式的及事件,借助及事件对应的几何图形分别表示算出和几何度量和。
数据准备)3)利用。
计算)计算得到。
例1.2.8(会面问题,也称约会问题) 甲乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面,并约定先到者等候后到者20min,过时不候。求能会面的概率。
解记。甲乙能会面”.
又设甲乙到达约会地点的时间分别是和(单位:min),且以下午6时为计时零点,则有。
以此判断可知,会面问题为“几何概型”问题,其和对应的几何区域如下图:
o 20 60
由此可算出和对应的几何区域的面积分别为。
于是。例1.2.9 (自学)
remark
了解随机模拟法---montecarlo法(**随机试验).
例1.2.10 (自己动手仿照例1.2.8的课堂讲解过程写写。)
例1.2.11 (自学)
1.2.6 确定的主观定义法。
1. 了解认同主观概率的贝叶斯学派的观点:
2. 用主观定义法确定概率的例子。
例1.2.12
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