第三章二维随机变量及其分布。
一、 二维随机变量及其联合分布
设ω为某实验的样本空间，x和y是定义在ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（x,y）为。
比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。
3.1.1联合分布函数
定义1：设（x，y）为二维随机变量，对任意实数χ，y，称二元函数f（χ,y）=p为（x，y）的分布函数或称为x与y的。几何上，f（χ，y）表示（x，y）落在平面直角坐标系中以（χ,y）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图y （x,y）
二维随机变量（x，y）的分布函数f（x,y）具有以下：0x
1°f(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x12°0≤f(x,y)≤1且 f(x,-∞f(-∞y)=f(-∞0,f(+∞1
3° f(x,y)对每个自变量是右连续的，即 f（x+0,y）= f（x,y）, f（x,y+0）= f（x,y）
4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 f(x2,y2)-f(x1,y2)- f(x2,y1)+f(x1,y1)≥0
事实上，由图可见(见右图)
f(x2,y2)-f(x1,y2)- f(x2,y1)+f(x1,y1)
例1设（x，y）的分布函数为
解：由性质4°可得
3.1.2联合分布律
定义2：如果二维随机变量（x，y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（x，y）为[,
设（x，y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……则称下列一组概率 p=pij,i,j=1,2,……为（x，y）的分布律，或称为x与y 的，用**表示：
性质 1. pij≥0,一切i,j,
2显然，（x，y）落在区域d内的概率应为
由此便得（x，y）的分布函数与分布律之间关系为
例2两封信随机地向编号为ⅰ，ⅱ的四个邮筒内投，令 x表示投入ⅰ号邮筒内的信件数； y表示投入ⅱ号邮筒内的信件数 。试求（x，y）的分布律，并分别求投入ⅰ，ⅱ号邮筒内信件数相同及至少有一封信投入ⅰ，ⅱ号邮筒的概率。
解： 总之，（x，y）的分布律为
投入ⅰ，ⅱ号邮筒内邮件数相等的概率为。
至少有一封信投入ⅰ，ⅱ号邮筒的概率为
3.1.3联合概率密度
定义3：设f（χ，为二维随机变量（x，y）的分布函数，如果存在非负函数(χ，使得对任意实数χ，у有则称（x，y）为，为（x，y）的概率密度或称为x与y的。
性质： 1。 （0 一切χ，у
一个重要结果：
几何解释：（见图）
1）（χ0表明密度曲面z= （应在χoу坐标面的上方；
2表明密度曲面z= （与χoу坐标面所围成图形的体积为1
表明（x，y）落在平面区域d内的概率等以d为底，以密度曲面z= （为顶的曲顶柱体的体积
概率密度与分布函数关系为：
例3.设（x，y）的概率密度为1）求常数a；（2）求概率p
解：（1）由于
即得（x，y）的概率密度为
二边缘分布。
设（x，y）的分布函数为f（χ，x和y的分布函数分别为fx（χ）fy（у）于是同样有
称fx（χ）f（χ，为二维随机变量（x，y），关于[, 称fy（у）f（+∞为二维随机变量（x，y），关于[,
例4.设（x，y）的分布函数为求关于x和y的边缘分布函数
解：关于x的分布函数
同理可得关于y的边缘分布函数
3.2.2边缘分布律
设（x，y）的分布律为p=pij,i,j=1,2,……可以证明x的分布律可以由x和y的联合分布律求得：
事实上，由于为必然事件，于是
同样，y的分布律也可以由联合分布律求得：
用**求边缘分布律只要在联合分布律表上加一行一列，然后分别按行按列相加即可
例5：袋中有2个白球3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地取二次球，每次取一个，令
求（x，y）的分布律及边缘分布律。
解：（1）有放回的取球
于是得关于x的边缘分布律为
关于y的边缘分布律
2)无放回取球
于是得关于x的边缘分布律为
关于y的边缘分布律
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