第1章概率论基础。
本章将复习与总结概率论的基本知识。
也扩充一些新知识点，比如：
1） 利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数，2） 随机变量的条件数学期望。
3） 特征函数。
4） 瑞利与莱斯分布。
5） 随机变量的基本实验方法。
1.1 概率公理与随机变量。
1.2 多维随机变量与条件随机变量。
1.3 随机变量的函数。
1.4 数字特征与条件数学期望12
1.5 特征函数。
1.6 典型分布。
1.7 随机变量的**与实验。
1.1 概率公理与随机变量此句作为后面每页ppt的标题。
随机试验（random experiment）：对随机现象做出的观察与科学实验。
样本空间（sample space）：随机试验所有的基本可能结果构成的集合称。的元素为样本点（sample point）。
事件（event）是试验中“人们感兴趣的结果”构成的集合，是的子集。各种不同的事件的总体构成一个事件集合，称为事件域。
事件是随机的。赋予事件一个出现可能性的度量值，称为概率（probability）。
可能性的度量值”是 “宏观”意义下（即大数量的情形下）的比例值，由相对频率（relative frequency）来计算，
（很大） 概率公理： 任何事件a的概率满足：
1） 非负性：任取事件，
2） 归一性：
3） 可加性：若事件互斥，即，，则，
事件概率的基本性质：
3） ，如果。
条件事件：
条件概率（conditional probability），
事件与独立（independent）等价地定义为。
多个事件彼此独立，事件的最基本运算：
参见教材）例1.1 分析掷均匀硬币问题。
解：正面，反面。因此，1） 样本空间：
2） 事件域：
3） 由硬币的均匀特性可得，而且，。
例1.2 一列n个格子，将一只小球随机放入其中任一格子。求：（1）小球放入第号格子的概率？（2）前个格子中有小球的概率？
解：因为是等概的，显然，又各个格子是互斥的，于是，几个基本公式。
1） 链式法则：
完备事件组或分割：满足：
2） 全概率公式：任取事件，3） 贝叶斯（bayes）公式：任取事件，
先验概率：；
转移概率：；
后验概率：
例1.3 在二元传输或检测中，先验概率分别为，，传输可靠性为80%，解：根据贝叶斯公式可得。
合理的估计是“原本发送的是0”。
在样本空间上定义一个单值实函数，称为随机变量（random variable，常缩写为并规定：用的概率来描述的概率特性，记为。
称它为的分布函数（distribution function），或称为累积分布函数（cumulative distribution function）。
分布函数基本性质：
参见教材）随机变量的类型：
1. 连续型：是连续取值的。
易见，2. 离散型：仅含有跳跃型间断点：
；仅在这些点上有非零的概率：，称为的分布律（或分布列）（distribution law）。
3. 混合型：上面两种形式的组合。
概率密度函数（probability density function）
基本性质为：
对于分布律为的离散型随机变量，其分布函数形如：
密度函数为。
式中，取值位置对应与自变量的偏移量，取值概率对应前面的幅值。
例1.4 均匀骰子实验：取值为。
解：是离散型的，分布律描述最为方便：
或者采用列表。
分布与密度函数，随机变量不同于普通变量表现在两点上：
1） 变量可以有多个取值，并且永远不能预知它到底会取哪个值；
2） 变量取值是有规律的，这种规律用概率特性来明确表述；
因此，凡是讨论随机变量就必然要联系到它的取值范围与概率特性。
在描述随机变量的概率特性时：
1） 分布函数指明直到处的累积概率；
2） 密度函数适用于连续取值部分。
3） 离散变量，常采用分布律；
1.2 多维随机变量与条件随机变量此句作为后面每页ppt的标题。
的概率特性：
联合分布函数性质：
参见教材）联合概率密度基本性质：
参见教材）联合分布律来描述，密度函数由多维冲激函数组成，形如。
联合分布函数由多维阶跃函数组成，形如。
例1.5 系统部件和独立，状态：n与f，
随机变量和。
取值概率：的概率密度函数。
例1.6 讨论二维均匀分布的、与。
解：利用积分求边缘密度函数，例1.7 二维正态分布随机变量， 解：指数部分写为。
它们是一维正态分布。
条件事件形如：
条件概率分布与密度函数：
1. 全概率公式：
2. 贝叶斯公式：
3. 链式公式：
相互独立：例1.8 二维正态分布。
解：（1）条件分布一维正态分布。
2）与独立的充要条件：，例1.9 二维均匀分布如前例所述。
解：根据例1.6的结果，由定义有，任意给定，条件事件服从均匀分布。
比如，，即条件事件服从均匀分布。
1.3 随机变量的函数此句作为后面每页ppt的标题。
函数形如。或
构成从样本空间到实数域的复合映射，导致新的随机变量。
一元函数形如：。概率特性：
定理1.1 设，若处处可导且恒有或，则。
例1.10 求的密度函数。
解：反函数形式为，导函数为。
例1.11 半波整流器的输出与输入之间的数学模型可以表示为。
解：参见教材）
二元函数：为，概率特性：
例1.12 与。
解：更一般的二元至二元的函数，
其中，与为反函数，为雅可比行列式。
例1.13 求的密度函数。
解：定义辅助变量，则。
，积分可得，如果与独立，则。
例1.14 电阻库中的电阻都是精度为、服从均匀分布的，现在需要电阻，讨论选取方法。
1） 取一个标称的电阻；
2） 取两个标称的电阻串联。
解：考察“实际值在以内的概率”
1）标称的电阻的，该概率是0.5。
2）标称的电阻串联，可认为，该概率是0.75。
例1.15 复变量，实部与虚部独立，且，。讨论振幅与相位的概率特性。
解：函数、反函数关系与雅可比行列式， ，
根据与独立，有。
于是，时。边缘概率密度函数为。
称为瑞利分布。
结论：中，与独立。
1.4 数字特征与条件数学期望此句作为后面每页ppt的标题。
定义1.1 若随机变量满足，则。
称为数学期望（expectation），或统计（集）平均（ensemble **erage）。
当为离散型时，
更为简洁的书写方式，如，，等。
基本性质：1）线性：
2）若独立，3）对于有，阶矩（moment）与阶联合矩（或混合矩）（joint moment）如下，1) 绝对原点矩：
2) 原点矩：
3) 中心矩：
特别重要的数字特征有：
1. 均方值：
2. 方差：
3. 联合矩：
4. 协方差：
1）（线性）无关（uncorrelated）：
或，2）正交（orthogonal）：。
例1.16 二维均匀分布如前例。讨论与的基本数字特征。
解：利用例1.6的结果，有。
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