第一章：测度与积分。
第一节：集族与测度。
测度空间。非空集合研究对象全体。
代数（域）--由的一些子集组成。
代数对集合的一切有限次或可数次运算封闭。
平凡的代数。
（[0,1]）集函数（是的元素的一种测度或度量）
例： =0,1].（a,b] ,i是的子集，i为区间， =i的长度， =0,1包含的最小代数，
测度的唯一扩张定理。
称是可测函数。
是一维可测函数，积分---数学期望。
积分的收敛性---lebesgue控制收敛定理。
fatou引理，levy引理。
记号、述语：
大写英文字母表示的子集（事件）
花写英文字母表示的子集组成的集合类（集类，集族）
某集类对某种运算封闭：如对可数并封闭指：对 ， n ，则 i
第二节：集族与测度。
1. 集合序列的极限。
设。关系：
如果，称的极限存在，记为。
特例：单调上升集合列：
单调下降集合列：
例：a,b是的两个子集，则。
则。2几种常用集类的定义：
称为一个类：如果对有限交封闭。
称为一个类：如果：(a).
b). 对真差封闭：若 ,且，则
c） 对单调上升（下降）集合列的极限封闭。
环 ：如果对有限并、差运算封闭（交：）
代数 ：如果是环，且 （代数对一切有限次运算封闭）
环 ：如果对可数并、差运算封闭（可数交封闭，极限运算封闭）
代数（域） ：如果是环，且 （代数对一切可数次集合运算封闭）
单调族 ：如果对单调上升（下降）列的极限封闭，即：如果 ，且，则
如果 ，且，则
代数、且又是单调族代数。
类、且又是类代数。
是任意集类，分别称，， 是由生成的最小类，最小代数，最小单调类。如：是生成的最小代数指：
是代数，且。
如果是代数，且 ，且。
单调类定理的两种形式和证明方法：
类方法：设是一个类，是类，且，则：
单调族方法：设是一个代数，是一个单调族，且，则。
推论： 证明：，显然（）
只要证，令。
如果对有限交封闭，则是一个代数。
验证： 即对。
验证：，即。
方法：实际中，要证明代数中集合（元素）具有某种性质（*）先证中元素具有性质（*）然后将定义类。验证是一个类，则：
例：上lebesgue测度的，即由得全体开集（开区间）生成的最小，也是左开右闭区间生成的最小。在上定义一个集函数：使，i是区间，令，则是一个类。，测度的连续性：
有限可加+连续性可数可加性。
第三节：测度的扩张定理。
非空集，（代数或代数）
集函数，满足： ；具有可数可加性：即。
有限可加：有限个），称。
测度分类：扩张的步骤：
p是代数上的概率测度：，将p的定义扩张到上， ；
设将的定义扩张到上。则：证：
令。则是一个代数，且上是概率测度。，同时，（称为的扩张）。，限制到。
结论：如果p是的一个有限测度，将用到。
对，的扩张，且还是唯一的。
称的完备化测度空间。
称为是完备化的如果。
扩张： 第四节．lebesgue---stieltjes测度。
结论：一维分布函数与上的一个l—s测度对应（某种意义下是1-1的），n维分布函数与上的某一个l—s测度对应。
定义：上的测度称为是l—s测度，如果对r，一个任意有界集。
函数f：称为分布函数。如果单调不减，右连续。
给定是l—s测度，空间，则f是一个分布函数（适用于是有限测度。
一般： 右连续的下方连续。
任给r上的一个分部函数，定。
可以唯一扩张成，则是l-s测度。
矩形不等式成立，即：
关于变量x的差分。
定义：成为一个n元分布函数。如果：
f对每个变元单调不减；
f右连续；给定上的一个l---s测度，定义。
当有限测度时，
反之，给定上的一个分布函数。
第六节．可测函数及其收敛性。
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