第4讲 ch.1 随机事件与概率。
1.4 条件概率
1.4.1 条件概率引例及定义。
1.引例(书中例1.4.1请同学们在学习以下例子后自学！)
例同一宿舍的8位同学需要通过抽签确定一张**会优待票的归属权，考虑求以下事件的概率：
1)“第2个同学抽中”；
2)“第1个同学没抽中后，第2个同学抽中”.
分析：为方便分析，记。
=“第位同学抽中”，.
则（1）中事件的概率为（利用古典方法求得，同理可求得，，）而（2）中事件的概率不是，它是事件发生的附加条件下，事件发生的条件概率，记为。
remark 求法探索：
方法1.古典方法
方法2.(定义法)
方法2具有普遍意义，因此可引入以下定义。
2.定义(条件概率定义)
定义1.4.1 设，为同一下的两个事件，若，则称。
为“发生条件下发生的条件概率”，简称条件概率。
remarks
同样可定义
如何运作才能保证“抽签”的公平性？
条件概率计算例。
例1.4.2设某样本空间含有25个等可能的样本点，事件与各含有15个和7个样本点，交事件含有5个样本点（书中有直观的图示） ，求，.
解：先由古典方法，求得，.于是
remarks
求，的古典方法。
考虑将缩小成，利用古典方法得。
同样考虑缩小成，利用古典方法得。
条件概率与普通概率一样具有一系列性质。 比如满足条件概率互补性：
更多的条件概率性质请关注性质1.4.1等。
1.4.2 乘法公式。
这是基于条件概率的三个实用公式之一）
性质1.4.2(乘法公式)
1)对任意事件，，若，则。
若，则。2)对同一下事件列，若。
则。proof
1）利用条件概率定义即可证。
2）由于…，利用单调性及已知，得。
于是。证毕。 乘法公式应用例。
例1.4.3
一批产品100件无放回逐一抽取 ，求第三次才取得不合格品的概率。
解： 记。“第次取得的是不合格品”，.
则由乘法公式和古典方法，得。
第三次才取得合格品。
例1.4.4（罐子模型---玻利亚（polya））模型。
任取1个 ，连续取3次，求以下关注的三个交事件的概率。
记。第次取出的是黑球”，“第次取出的是红球”，.
关注交事件，，的概率。
解：利用乘法公式和古典方法，得。
可见，“取得二红—黑”的概率与第几次取得黑球有关！
remark
polya模型的特例及意义：
作业 4.
1.4.3 全概率公式。
这是基于条件概率的三个实用公式之二）
性质1.4.3（全概率公式）
设为的一个分割（也称完备事件组），且。
则对任意事件，有。
proof 由已知，得。
互斥，且。于是，有互斥，且。
所以由有限可加性和乘法公式，得。
证毕。remarks
1)全概率公式的最简单形式：若，则。
2)全概率公式成立的条件可减弱为：互斥；
回到proof中可明白结论同样成立。)
全概率公式举例。
例1.4.5（摸彩模型）
共张奖券，其中只有1张中奖券求第二个摸彩者中奖的概率。
解：记。“第位摸彩者中奖”，
由于发生与否，只与是否发生有关，而由古典方法，得 ，（
易见，满足全概率公式条件，于是。
remarks
类似地可得，.
若本例中有张中奖券（）,则。
计算结果表明：“中彩”与买彩的先后无关！
例1.4.6（全概率公式在保险业中的应用）
保险公司认为某险种投保人可以分成两类：一类为容易出事故者，另一类为安全者，统计表明：一个易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4，而安全者在一年内发生事故的概率为0.1.
假定第一类人占此险种投保人的20％.现有一个新的投保人来投保此险种，问该投保人在购买保单后一年内将出事故的概率有多大？
解：记。“该投保人在购买保单后一年内出事故”，“该投保人为易出事故者”.
则由已知，有。
所以。例1.4.7
敏感性问题调查研究---研究性学习内容)
1.4.4贝叶斯公式。
这是基于条件概率的第三个实用公式)
性质1.4.4(贝叶斯公式)
设为的一个分割，且。
又由事件的概率，有。
proof 由于假设条件满足全概率公式，于是由乘法公式和全概率公式，得。
贝叶斯公式应用举例。
例1.4.8（贝叶斯公式在医学研究中的应用）
某地区人群：有肝癌，阳性︱有肝癌，阴性︱无肝癌。
求任一个被检查者甲胎蛋白检验呈阳性)
有肝癌︱阳性？
解：记。=“被检查者甲胎蛋白检验呈阳性” ，被检查者有肝癌”.
则， ，可见，满足全概率公式条件，于是。
进而由贝叶斯公式，得所求概率为。
remarks
本例结果对医学研究上的指导作用：不应轻易相信第一次检验的阳性结果，因为阳性检验结果者真正患肝癌只有28.4％，而有71.
6％的第一次检验阳性结果者是被吓一跳的！至于要减少被吓一跳的人数，可行办法就是---复查第一次阳性者。如果第二次检查结果仍为阳性者真正患有肝癌的概率为。
以上算式中事件记号的含义？
求结果“阳性”即“检验为阳性”的概率。
———用全概率公式，而求造成“阳性”这种结果，即造成“检验呈阳性”的原因的概率。
及———用贝叶斯公式；
希望同学们通过作业题体会)
贝叶斯公式中的两个专用述语及其用途。
———的先验概率，用于反映发生可能性大小。
———的后验概率，用于反映事件发生的各种“原因”的可能性的定量描述。(结合例1.4.8加以理解)
例1.4.9. “孩子与狼”的贝叶斯分析（自学讨论题6）
§1.4课外作业习题1.4.()
本人在这方面的一些研究结果。
相关**发表于玉林师院学报2011(2)）以下是简介。
1.引例（“门车羊”游戏问题）
2.带强制必然事件条件因子的全概率公式。
定理1 设为的一个分割，且。
又已知在随机进程中随机事件的发生除了受到随机事件组的影响之外，还受到了人为强制促成的随机事件必然不发生的影响，则有。
其中， 中的称为强制必然事件条件因子。
证明记样本空间为，由已知可得。
互不相容，且。
由于随机事件总是被人为强制促成必然不发生，即为强制必然事件。在随机进程中，随机事件受到强制必然事件的影响，所以，.
从而，由互不相容，利用有限可加性和乘法公式，得。
这就是带有1个强制必然事件条件因子的全概率公式的证明，现在来证明带有(且为整数)个强制必然事件条件因子的全概率公式，即如下定理2.
定理2 设为的一个分割，且。
又已知在随机进程中随机事件的发生除了受到随机事件组的影响之外，还受到了人为强制促成的(且为整数)个随机事件必然不发生的影响，则有。
证明记样本空间为，由已知可得。
互不相容，且。
由于随机事件同时必然不发生，即均为强制必然事件，在随机进程中，随机事件受到强制必然事件的影响，所以。
从而，由互不相容，利用有限可加性和乘法公式，得。
利用定理1，也就是带有1个强制必然事件条件因子的全概率公式，对marilyn给出的趣味游戏题，给出简单解答：设。
游戏玩家原来选择的那扇门后面放着豪华轿车”.
又为方便记，对游戏玩家选剩下的两扇门，分别编为新1号门和新2号门，且记。
新号门后面放着豪华轿车”，.
在主持人进行第二步前，容易由古典概率计算方法得到。
根据游戏玩法及规则，在主持人进行第二步，总是促成，中之一必然不发生(这完全是能做得到的，原因在于不管游戏玩家选择结果如何，剩下两扇门中至少有一扇门后面没有放着豪华轿车)后，记。
游戏玩家放弃原来的选择，转而选择选剩下的没被打开的那扇门来打开最终赢得豪华轿车”.
则容易求得。
利用定理1，得。
以上计算中，强制必然事件条件因子也可能是，但结果都一样。并且容易明白，主持人进行第二步时，促成，或必然不发生，对事件的概率没有影响。也即随机事件“游戏玩家坚持原来的选择打开门最终赢得豪华轿车”的概率。
结果表明，游戏玩家放弃原来的选择比坚持原来的选择最终赢得豪华轿车的概率增大一倍。
1 4 概率论
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