第。六、七章复习小结。
一、掌握数理统计的下列基本概念。总体、个体、样本、统计量、样本均值、样本方差。
二、掌握定理6.3.1及推论，定理6.3.2，知道分布，分布，分布的来历，会查它们的临界点。
三、掌握矩估计的方法。理论依据是样本阶原点矩，概率收敛于总体的阶原点矩，令二者相等，得到方程。然后求解，得到未知参数的矩估计。
四、掌握极大似然估计的方法。即求似然函数的极大值点。此时，已发生的事件。
具有最大概率。
五、掌握无偏性、有效性、一致性的含义。
（置信度，置信区间）了解区间估计的含义。会求正态总体均值，方差的区间估计。
例设是来正态母体的简单随机子样。已知的期望为。为估计的均方差，若取统计量为无偏的估计，求。并求出此估计的方差。
解由，知，则。
令，则。即。
此时。第六章的习题解1
2、解： （1）
3.解 ①
又。故原式。
4.解 ，故其特征函数，其的特征函数。而 则。
为的特征函数。故的渐近分布为退化分析，，即；
5.解由于独立同分布于，则。
也是独立的分布。故。
令，则。6.解由题目条件得。
为总体的两个独立子样，则 且。则。
7.解极大值的分布函数。
概率密度。极小值的分布函数。
子样极差的分布函数。
先求的联合分布函数，设为。
若，则。若，则。
其联合密度为。又。当。
9.解当为正态总体的子样时，且。故。又。
设，由于为正态总体，故为独立同分布正态分布的。则。又。
由定理6.3.1，与相互独立，且，由分布定义：
10.解由定理6.3.2，由于。
即。则的密度函数。
当时， 故。又。
故。13.解由题目条件。
且独立，又由定理6.3.1，，故。
即。15.解由题目条件，相互独立且分别服从，则由14.题。
也服从正态分布。则。
设，且相互独立。
15.解因为，独立同分布于则。
也相互独立同分布于。
设则由定理6.3.1
为，，且与相互独立。
而。则也为正态分布。
则，故也为正态分布。
而。例的密度？
的联合分布。
联合密度。8.解见p14例6.2.5
由题目条件，则其特征函数。
14.解的特征函数，又相互独立，则的特征函数。
故。12.解由题目条件，设。
其中为正交阵，即，由14题，也是正态的。且。
故也是的。又。
17.解利用（柯赫论定理的计算公式，证明过程）
考虑。例设为总体的一个样本，求下述各总体的密度函数式中，分布律中未知参数的矩估计及极大似然估计。
其中为已知，为未知参数。
其中为未知参数。
其中为未知参数。
为未知参数。，未知参数。
解 ① 利用矩估计法，得到；即，则的矩估计，
又似然函数。
令，得。的极大似然估计。
由矩估计法得，则的矩估计量。
又似然函数。
令，得。的极大似然估计。
由矩估计法，得。
即。故的矩估计。
的矩估计 另外，似然函数。
由于似然函数是的单增函数，故的极大似然估计就是的最大值。由题目条件得， 故。即。
此时，令，得，由矩估计法，得，故的矩估计量为。
又似然函数。
令，得。p的极大似然估计。
，由矩计法，，则的矩估计量。
又似然函数。
令，得。的极大似然估计。
p99 6解
令。例设总体是的样本，试确定常数，使为的无偏估计。
解由题意，
故。例试证明均匀分布中未知参数的极大似然估计量不是无偏的。
解似然函数是的单减函数，故的最小值就是的极大似然估计。故。 又的密度。
故的极大似然估计量不是无偏的。
例设总体从总体中抽取一容量为的样本。① 证明：
求的置信度为的单侧置信下限：
解 ① 又。
则。即，且相互独立。则。
即。 因为，由分布上侧临界值定义知，则。
即的置信水平为的置信下限为。
4. 解 ① 似然函数。
当达到最小时，达到最大。）
令，则。而，故为的中位数时，，即。
似然函数。
故当取最小时，为最大，即的极大似然估计的最小值，而，故，即。
12.解 ①
令，则。由，则。
13.解 故。
14.解为的无偏估计，见p25，5），下面求的优效估计量的方差，即下界。
18.解 设。
故是的最优线性无偏估计量。
例设是总体的样本，服从上均匀分布，未知，求证：的极大似然估计是的一致估计。（弱相合）
解的似然函数。
显然是的单减函数，故的最小值即是的mle。又，故，则。设的分布函数为，则
的密度。对，故，即是的一致估计。
例设总体服从均匀分布，其密度函数为：
是从总体的抽取的一个子样。
求的矩估计量。
求的极大似然估计。
在均方误差的意义下，比较上述估计的优劣。
解 ①由矩法，得，即，则的矩估计量。
设的似然函数为，则。
是的单减函数，又，则，故的最小值为。
此时，达到最大，故的极大似然估计。
则。另，的密度函数。则。则。
即在均方误差意义下比有效。
p101.）25解由定理6.3.2
设。由定理6.3.2则。则
即 的置信水平为的区间估计为。
因为，且独立，已知，未知，
则。故的置信区间为。
26.解由于未知，，
则。由定理6.3.2②
故的置信区间为。
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