例1 设相互独立，每个随机变量的均值为0，方差为1。记，求与的相关系数 解 又。
类似。则与的相关系数。
例2 设，，且与相互独立。设，求证。
例3 设为相互独立的随机变量，且记。证明：①；
例4 设是两个且；
证明：① 又设的相关系数为，应用①证明：
证明：① 即。设；则。
故满足（1）中的条件。又。
例5 （holden不等式）
例6 （jensen不等式）
例3 设随机变量的分布函数，试确定的分布密度，并求。
解因为是的分布函数，则，即。
当时， 当时，
故。即为参数为的指数。。
例7 设相互独立，均服从。令。证明： ①服从二维正态分布。
相互独立的充要条件为。
解由于相互独立，均服从，则的联合分布。
作变换，则。
故（）的联合密度为。
即。即而与独立。
例8 已知随机变量，在给定条件下，，在给定条件下， 。求
的联合分布及其各自的边沿密度。
在给定的条件下，求的条件密度？
解：设的联合密度为。
的联合密度为。的密度为。
则。所以的联合密度为：
即。故，故的边沿密度为，的边沿密度为。
故在给定的条件下，
例设。求 ①②
解的边沿密度。
的边沿密度。
例设是独立同分布的随机变量，均为正的。证明：对有。
证明设的联合分布函数为。的分布函数为。因为独立同分布，则。
因为独立同分布，且均取正值。故。又。
故。例若相互独立，均服从，试证：
证明由于相互独立，且均服从。
则（）的联合密度。又。故。
其中，。例设的分布函数为且存在，试证：
证明： 由均值存在，得。（当）当）
以此代入的计算公式，得。
例设服从二元正态分布，，证明：
证明：由题设得。
例4 设是两个随机变量，且。
证明 ①。设的相关系数为，应用①证明：
证明 ① 因为。即。e
设，则。故满足（1）中条件，故。
又。例若服从，求。
解 令，则。
原式。当为偶数时，当为奇数时，例设，若，证明：。
解因为。即对任意成立。又，则判别式。
即，，令，得。
其中，把这些不等式中前个的左右两边分别相乘化简约，得。
两边同时开方，得。
例设张卡片，分别编有号码从1到。从这些卡片中每次任意抽取一张，记录其号码后仍放回去，共抽取次。设随机变量表示次抽得的卡片的最大号码，求。
解：的可能取值为。又。故。
当很大时，有。
故当很大时，例5 （holder不等式） 设，其中，且，则。
特别，当时，得到cauchy不等式。
证明考虑曲线，取任意，则由图示曲边三角形aod的面积与曲边三角形boc的面积之和不小于，即。又。则。
令，并在不等式两侧求期望，得。
即。例设，则。
证明：当时，由即得上式。对，若，则上式显然成立。设，且。由于。
有。利用holder不等式：其中。即。
两边同除以，得。
即。另外，当时，显然有，得。
由此可见，对任意，若均有有限阶绝对矩，则也有有限的阶绝对矩。
例（jensen不等式） 设是一随机变量，取值于有限的区间。是连续凹函数。若存在，则。
证明由于的凹性，则对每个及一切，有。
其中为在处曲线的切线的斜率，令，则。
得。令。取期望。
例7（李亚普诺夫不等式） 对任意实数，若，则。
证明：令；当时，是凹函数。设，则。
p233.19. 证明的分布函数为，对。
20.解设的分布函数为；
又。21.解因为取值于内，故。
为一实数。取，则。
24.解先证。
其中为的中位数。即，由此得，当时，达到最小值。
故。当时，则。
类似当时，
当时，原式显然成立。
接7本）26.解：
由于各的独立性，及。因此上面和式中只有和的项不为0，显然， （共项）共项）故。
27.解：，其中为的中位数，即。
由此得，当时，达到最小值。
书上定义，则为连续型随机变量）
柯尔莫哥洛夫不等式设是独立的随机变量方差有限，则对，有。
当时，即得切比雪夫不等式。在上式中，令即可。
南理工数学系概率论课后习题答案概率论讲课提纲 理科
二 古典概型讲课提纲。1 基本的概率定义，例子。排列组合公式。加法原理，乘法原理。例子，练习。2 古典概型的几种常见类型 古典概型中概率的性质 概率与频率的关系。3 几何概率的定义，例子。buffon问题，几何概率的性质 第三次讲课提纲。一 几何概率的定义，例子，性质1，2，3，4 buffon问题...
南理工数学系概率论课后习题答案概率论 第四,五章习题课
第。四 五章复习小结。一 特征函数的概念及其意义。二 特征函数的性质 1 7 及反演公式及唯一性定理的应用。三 随机序列的收敛性 1 依概率收敛。2 依分布收敛及二者间的相互关系。四 理解依分布收敛的充分必要条件 勒维 克拉美定理 特征函数在极限定理中的作用。五 几种常见形式的大数定律与中心极限定理...
南理工数学系概率论课后习题答案概率论 第六七章习题课
第。六 七章复习小结。一 掌握数理统计的下列基本概念。总体 个体 样本 统计量 样本均值 样本方差。二 掌握定理6.3.1及推论，定理6.3.2，知道分布，分布，分布的来历，会查它们的临界点。三 掌握矩估计的方法。理论依据是样本阶原点矩，概率收敛于总体的阶原点矩，令二者相等，得到方程。然后求解，得到...