11．从（0，1）中随机取两个数，求下列事件的概率；（1）两数之和小于；（2）两数之积小于。
解 （此系几何概型问题）设两数之和小于的事件为，两数之积小于的事件为。
如下图，样本空间为单位正方形区域，事件为区域c，事件为区域d，于是。
的面积/的面积/=
的面积/的面积。
14．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区，从该地区报名表中抽取1份，求抽到的1份是女生报名表的概率。
解此系条件概率问题。
设表示“抽到第个地区”，b表示“抽到的是女生报名表”。则据全概率公式，所求概率为。
15．三个箱子，第一个箱中有4个黑球，1个白球，第二个箱中有3个黑球，3个白球，第三个箱中有3个黑球，5个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球。（1）求这个球为白球的概率；（2）已知取出的球是白球，求此球属于第二个箱子的概率。
解此系条件概率问题。
设表示“抽到第个箱子”，b表示“取出的是白球”。则所求概率分别为和。据全概率公式，有。
而由贝叶斯公式可得。
17．设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车，轮船，汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别为1/4，1/3， 1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大。
解此系条件概率问题。
设分别表示此人乘火车，轮船，汽车或飞机来的事件，表示此人迟到的事件，则依题意要计算、和，并进行比较。据已知有， ，
据全概率公式，有。
而据贝叶斯公式，有。
上述三个条件概率分别为此人在迟到的条件下乘火车，轮船，汽车的概率，不难看出这时他乘火车的可能性最大。
19．有甲乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7，在这两批种子中各随机抽取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰好有一粒发芽的概率。
解此系事件的独立性问题。
设表示“从甲（乙）批抽取的种子发芽”，据已知：，。
则依事件的独立性，有。
1）两粒都发芽的概率为：
2）至少有一粒发芽的概率为：
3）恰好有一粒发芽的概率为：
21．一实习生用同一机器接连独立制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率，求他制造的3个零件中恰好有2个合格的概率。
解此系事件的独立性问题。设表示“第个零件是合格品”，表示所求概率的事件。则。
已知，于是所求概率为。
22．设甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.6，若每人投篮3次，求两人进球数相等的概率。
解此系重贝努里试验概型问题。
设表示“甲篮球运动员投进个球”，表示“乙篮球运动员投进个球”，则所求概率为。因为两两互不相容，且与相互独立，所以有。
应用二项概率公式有。
分别计算，得。
于是所求概率为。
26．袋中有只**硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投次，已知每次均得到国徽，问这只硬币是**的概率是多少？
解此系重贝努里试验概型和条件概率问题。
设表示“在袋中取出的硬币是**”，表示“取出的硬币投次，每次均得到国徽”，则所求概率为。据全概率公式，有。
于是。27．证明题：（1）如果，求证事件与互相独立；（2）设事件发生则事件一定发生，求证。
证 （1）由，可得。或。即。
化简，即得。
所以事件与互相独立。
2）已知事件发生则事件一定发生，即，于是，从而。
因为，故有。
证毕。第二章。
5．某射手有5发子弹，射一次，命中率为0.9，若命中就停止射击，若未命中就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列。
解由题设的所有可能取值为1，2，3，4，5，而由条件概率可得。即。
而由全概率公式得。
所以的分布列为。
10．设随机变量的概率密度为（1）求系数；（2）求分布函数；（3）画出与的图形进行比较。
解由概率密度的性质，有
得，于是。当时，
当时， 当时，
即。14．工厂生产某高级电子元件，其寿命（以年计）服从指数分布，的概率密度为，工厂规定**的电子元件在一年内损坏可调换。若工厂**一个电子元件盈利100元，调换一个需花费300元，试解答以下各题。
1）求一个电子元件在一年内损坏的概率；
2）若某仪器装有5个这种电子元件，且它们独立工作，求在使用一年内恰有3个元件损坏的概率；
3）求**一个电子元件盈利元的分布列。
解 （1）所求概率为。
2）此系重贝努里试验概型，由（1）知参数，按二项概率公式，所求概率为。
3）由已知**一个电子元件盈利元，而**的电子元件在一年内如损坏，扣除调换花费300元，则盈利元，即的取值为，并且有。
所以的分布列为。
17．设电源电压服从正态分布，又设在下列三种情况下某种电子元件损坏的概率分别是0.1，0.001和0.
2：（1）不超过200伏；（2）在200~240伏之间；（3）超过240伏。
求：（1）电子元件损坏的概率；（2）若已知电子元件损坏，问该电子元件处于何种情况下损坏的可能性最大，为什么？
解设， ，则构成一完备事件组，且据已知有，
及。于是由全概率公式，可得电子元件损坏的概率。
而由贝叶斯公式可得。
所以当电子元件损坏时，该电子元件处于超过240伏的状况时的可能性最大。
22．装配成圆珠笔尖的小钢珠的重量服从正态分布，而钢珠直径是的线性函数。已知用直径小于、介于和之间，以及大于的钢珠装配成合格珠笔尖的概率分别为和，试求：
1）随机变量的分布密度；
2）用这批钢珠中任一个装配成合格笔尖的概率。
解因为是的线性函数，所以也服从正态分布，设，则。
于是，而的分布密度则为。
设，则所求概率为。因为已知有， 且。所以。
24．某电子元件厂生产一批电子管，电子管的寿命（以小时计）具有如下的概率密度。寿命高于2000小时，介于1250~2000小时，以及低于1250小时的电子管分别是一等品，二等品和次等品。用一只一等品或二等品或次等品装配的收音机，成为合格品的概率依次为0.
9，0.8和0.5。
试求：1）从该批产品任取一只电子管是一等品，二等品或次等品件的概率；
2）从该批产品任取一只装配成合格收音机的概率；
3）假设销售一只一等品或二等品，厂家可获利6元或4元，销售一只次品，厂家亏损3元，求厂家销售任取的一只电子管可获的利润的分布列。
解设分别表示任取一只电子管是一等品，二等品或次等品的事件，表示任取一只电子管装配成合格收音机的事件，表示销售任取的一只电子管可获的利润。
1）所求概率分别为。
2）应用全概率公式，所求概率为。
3）的分布列为，
27．若，求下列各随机变量的概率密度：
解已知服从标准正态分布，其概率密度为
1）因为。故当时，
而当时， 所以。
2）因为。故当时，
而当时， 所以。
3）因为。故当时，
而当时， 所以。
5．一袋色球，其中有三个白球，两个红球和三个黑球，现从中随机任取4球。设x为白球数，y为红球数，求：（1）（x，y）的联合分布律；（2）。
解 x的所有可能的取值为，y的所有可能的取值为。由古典概型可得， ，
故（x，y）的联合分布律为。
而。10．随机变量服从b上的均匀分布，其中b为轴，轴以及直线所围成的三角形区域。求联合概率密度及两个边缘概率密度。
解由已知，三角形区域，故其面积 ，于是的联合概率密度。
的边缘概率密度为
因为当或时，，有
而当时， 所以。
的边缘概率密度为
因为当或时，，有
而当时， 所以。
14．若随机变量与相互独立，其概率密度分别为。
求随机变量的概率密度。
解因为与相互独立，故的联合概率密度为。
为求的概率密度，先求其分布函数：，设，有。
若，则在区域内，有或，于是，从而；
若，则。若，则。
故。所以随机变量的概率密度。
22．设随机变量独立同分布，其分布律为。
又设，，试写出二维随机变量的联合分布律。
解由已知可得的联合分布律：于是。
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