习题一。
2．设a，b是两事件，且p(a) =0.6，p(b) =0.7，问：
(1) 在什么条件下p(ab)取到最大值，最大值是多少？
(2) 在什么条件下p(ab)取到最小值，最小值是多少？
解：因为，又因为即所以。
1) 当时p(ab)取到最大值，最大值是=0.6.
2)时p(ab)取到最小值，最小值是p(ab)=0.6+0.7-1=0.3.
3．已知事件a，b满足，记p(a) =p，试求p(b)．
解：因为，即，所以
4．已知p(a) =0.7，p(a – b) =0.3，试求．
解：因为p(a – b) =0.3，所以p(a )–p(ab) =0.
3, p(ab) =p(a )–0.3,又因为p(a) =0.7，所以p(ab) =0.
7– 0.3=0.4，.
12．已知，求．
解： 14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：设a=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，b=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得。
由贝叶斯公式得。
15．将两信息分别编码为a和b传递出去，接收站收到时，a被误收作b的概率为0.02，而b被误收作a的概率为0.01，信息a与信息b传送的频繁程度为2：
1，若接收站收到的信息是a，问原发信息是a的概率是多少？
解：设m=“原发信息是a”，n=“接收到的信息是a”，已知。
所以。由贝叶斯公式得。
16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？
解：设ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.
已知所以。至少有一人能将此密码译出的概率为。
17．设事件a与b相互独立，已知p(a) =0.4，p(a∪b) =0.7，求。
解：由于a与b相互独立，所以p(ab)=p(a)p(b),且。
p(a∪b)=p(a)+ p(b) -p(ab)= p(a)+ p(b) -p(a)p(b)
将p(a) =0.4，p(a∪b) =0.7代入上式解得 p(b) =0.5，所以。
或者，由于a与b相互独立，所以a与相互独立，所以。习题二。
9. 解：因为x服从参数为5的指数分布，则，，
则。10. (1)、由归一性知：，所以。
11. 解 （1）由f(x)在x=1的连续性可得，即a=1.
3）x的概率密度。
13. 解： (1) 因为所以。
2) ，则，经查表得。
即，得；由概率密度关于x=3对称也容易看出。
3) ，则，即，经查表知，故，即；
17. 解因为服从正态分布，所以，则，当时，，则。
当时， 所以y的概率密度为；
18. 解，所以。
习题三。4.解：(1)由归一性知：
1=, 故a=4
2)p=03)p．
解：依题意， x ~ b（100，0.9），则e(x) =90，d (x ) 9，6.
在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1．求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率．
解：设柜台替第i位顾客服务的时间为x i ，i = 1,2,3...100.
则x i ，i = 1,2,3...100独立同分布，且e（x i）=1.5，d(x i )=1，所以。
即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为0.0013.
8. 已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．
解：记每页印刷错误个数为，i=1，2，3，…300，则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以e（x i）=0.2，d(x i )=0.2
所以。习题六。
1. 已知总体x～b(1，p)，x1，x2，…，xn是x的一个样本，求。
(1) x1，x2，…，xn的联合分布律；
(2)的分布律；
解：因为x的分布律为。
且x1，x2，…，xn均于x独立同分布，所以。
（1）x1，x2，…，xn的联合分布律为。
（2）因为，所以。
（3）因为，所以。
2. 从总体n(52，6.32)中随机抽取一个容量为36的样本，计算样本均值落在50.8到53.8之间的概率．
解：因为x~n(52，6.32)，所以，5. 从正态总体中抽取样本x1，x2，…，x10
(1) 已知 = 0，求；
(2) 未知，求．
解：（1）因为xi～n(0，0.5 2)，，即，令。则。由于。
查表知，所以。
(2) ）因为xi～n(，0.5 2)，即，所以。
, 查表知，所以。
习题七。3. 设总体的概率密度为。
是来自的简单随机样本，求参数的矩估计量．
解：总体x的一阶为。
用样本的一阶a1=代替总体x的一阶矩e(x)得到。
4. 设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的简单随机样本，求和的矩估计量．
解：总体x的一阶为。
总体x的二阶为。
用样本的一阶、二阶矩a1和a2分别代替总体的一阶、二阶矩1和2，得到。
解得和的矩估计量为。
5. 设，m已知，未知，是来自的简单随机样本，求的最大似然估计量．
解：由于x的分布律为。
基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为。
解得。的最大似然估计值为。
的最大似然估计量为。
6. 设总体的概率密度为，今从x中抽取10个个体，得数据如下：
试用最大似然估计法估计．
解：设x1，x2，…，xn为总体x的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为。
当时，，令。
解得。考虑到。
所以，θ的最大似然估计值为。
将数据代入计算，θ的最大似然估计量为0.000858
7. 设某电子元件的使用寿命的概率密度为。
为未知参数，是的一组样本观测值，求的最大似然估计值．
解：设x1，x2，…，xn为总体x的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为。
容易看出θ越大l()越大，在约束下，
即为θ最大似然估计值。
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