i习题一。3 设为二事件，化简下列事件：
4 **号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求**号码由5个不同数字组成的概率。
5张奖券中有张有奖的，个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
答案： 6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？
解；将这五双靴子分别编号分组，则。
表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有。
不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能选法为。
7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过的概率。 答案：
8在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可。
以构成三角形的概率。
且，又。9在区间内任取两个数，求这两个数的积小于的概率。
10设为二事件，设。
解：故。11设为二事件，设。
解： 12 设。
1）若。若。
2）若。若与相互独立，则。
13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。
解 0.94
14某市有50％的住户订**，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。
解： 15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得**的概率。
解： 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得**；等价于。
第一次取出的零件为次品，求第二次取得**；故：
16 设随机事件且。
解： 17 设是小概率事件，即是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件总会发生（以概率1发生）。
当试验不断地重复进行下去，事件发生的概率为：
18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为求此秘密被译出的概率。
解：以分别表示第一，二，三人独立地译出密码，：表示密码被译出，则。
20 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障得概率。
解： 21设为二事件，设。
解： 22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为，活到25年以上的概率为，问现在20岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？
解： 23某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为％，40年内发生特大洪水的概率为％，求已过去了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。
发生特大洪水的时刻。
24 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。
1）问取道白球的概率是多少？
2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？
解：解： “首先从甲袋中取到白球” 收到信号“然后从乙袋中取到白球。”;
由题设：于是：
由贝叶斯公式有：;
25 一批产品共有10件**和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。
解：分别表示第一次、第二次取得的是次品，则。
26一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h以上的概率。
解：分别为任意抽出一元件是由。
一、二、三等品。抽出的一个能工作500h以上。
27 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.
85，1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。
2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。
1）分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。抽出的一个是次品。
1） 由贝叶斯公式有：
28用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.
0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。
解： “患癌症未患癌症”; 检查结果为阳性”; 结果是阴性”
由题设：于是：
由贝叶斯公式有：;
29二三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.
7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。
（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。
解：用表示第人击中，，则用表示恰有人击中，；
表示敌机被击落，则。
30 某厂产品有70％，不需调试即可出厂，另30％，需经调试，调试后有80％，能出厂，求：
1）该厂产品能出厂的概率。
2）任取一出厂产品未经调试的概率。
解： “任取一产品，.不需调试即可出厂” “任取一产品，调试后能出厂”; 任取一产品，能出厂。”;任取一产品，不能出厂”
由题设：于是：
由贝叶斯公式有：;
31 进行一系列独立试验，假设每次试验成功的概率度、都是求在试验成功2次之前已失败了3次的概率。
解：x:表示试验成功2次时的试验次数，x=5,试验成功2次之前已失败了3次的概率等价于：前面4次成功了1次且第5次必成功。
32 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第次才取出次红球的概率。
33灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。
记p=px: 3个使用1000小时后坏了的只数。则x～
34某人有两盒火柴，每盒中各有根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有根的概率。
注：可看作重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为，取了第二盒中一根火柴的概率也为，设所求事件为，则相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，”的事件，故。
习题二 38页。
1在测试灯泡的寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量。
解：样本空间表示灯泡的寿命（h）是随机变量。
2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设x为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。
3 若求。解：
4 设随机变量x的分布函数，试求（1）
5 5个乒乓球中有两个是新的，3个是旧的，若果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形。
解：x表示从中任取3个，其中新的乒乓球的个数；则x的可能取值为0.1，2。
6某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数x的分布律。
解： 即。7 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数x的分布律。
解： 8从1到10中任取一个数字，若取到数字i,i=1,2,…,10的概率与i成正比，即。
解：由归一性：
9 已知随机变量x服从参数为λ=1的泊松分布，试求满足条件的自然数n.
解： 10 某公路一天内发生交通事故的次数x服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有发生交通事故的概率。
发生交通事故x服从参数为λ的泊松分布，且。
一周内发生交通事故的次数记为y
则y服从二项分布，故一周内没有发生交通事故的概率为。
11 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。
（每个工作时内发生故障的概率）
x：100作时内发生故障的次数，～
12设x～现对x进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。
y表示对x进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则y～，13 设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为求在50头已感染的羊群中发病头数的分布律。
14设随机变量x的概率密度为，y表示对x的三次重复观察中事件出现的次数，则。
15已知x的概率密度为试求（1）未知系数a,(2)x的分布函数f(x);(3)x落在区间内取值的概率。
解：（1）分部积分。
16 设随机变量x在[1，6]内服从均匀分布，求方程有实根的概率。
解：方程有实根，等价于：
方程有实根的概率为。
17 已知随机变量x服从正态分布服从标准正态分布n（0，1），求。
解：由37页例3知服从正态分布，又已知服从标准正态分布n（0，1），故a=1,b= -1.
18已知随机变量x服从参数为λ的指数分布，且x落入区间（1，2）内的概率达到大，求λ
x服从参数为λ的指数分布，则。
求极大值，求导。
19设随机变量 x～n(1,4);求。
解：由35页（5）式有：
20 设电源电压（单位：v）x服从，在三种情况下电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，求：
1）该电子元件损坏的概率α
解：由35页（5）式有：
2) 该电子元件损坏时，电压在200至240的概率β。
21随机变量x的分布律为：
求的分布律。
y的所有可能取值为0，1，4，9，由概率的可加性，有：
得的分布律为。
22 设随机变量x服从参数为0.7的0—1分布，求的分布律。
解：参数为0.7的0—1分布。
23 设随机变量x的概率密度函数为内的概率密度函数。
解：对任意的y.
所以：24设随机变量x服从u[0,2],求随机变量在[0，4]内的概率密度函数。
解：当时：所以：
25 设随机变量x的概率密度函数为的概率密度函数。
解：当时：
当时：所以：
补充：设x～的概率密度，（2）求的概率密度，故的概率密度。
2)因则，当时，
习题三。1.离散随机变量相互独立同分布， 求的概率。
概率论课后答案
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