【高考考情解读】 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点．从能力上主要考查学生的基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．考查形式为解答题，难度中等．分值为10分．
1． 算术—几何平均不等式。
a1＋a2＋＋ann≥a1a2an(a1>0，a2>0，，an>0)． n2． 绝对值三角不等式。
定理1 如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
定理2 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)·(b－c)≥0时，等号成立．
3． 绝对值不等式的解法。
1)|x|ax>a或x<－a.
2)|ax＋b|≤c－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥cax＋b≤－c或ax＋b≥c.
3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c的解法有三种：①根据绝对值的意义结合数轴直观求解；②用零点分段法去绝对值，转化为三个不等式组求解；③构造函数，利用函数图象求解．
4． 证明不等式的基本方式。
1)比较法作差或作商比较．
2)综合法根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论．
3)分析法执果索因的证明方法．
4)反证法反设结论，导出矛盾．
5)放缩法通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．
6)数学归纳法证明与正整数有关的不等式．
5． 一般形式的柯西不等式。
22222设a1，a2，a3，，an，b1，b2，b3，，bn是实数，则(a21＋a2＋＋an)(b1＋b2＋＋bn)≥(a1b1
a2b2＋＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，，n)时，等号成立。
考点一含绝对值不等式的解法。
例1 (2013·辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为，求a的值．
2，2＜x＜4，解 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝－2x＋6，x≤2，2x－6，x≥4.
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为．
2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，4x－2a，0＜x＜a，则h(x)＝－2a，x≤0，2a，x≥a.
a－1a＋1由|h(x)|≤2，解得x≤22
又已知|h(x)|≤2的解集为，2＝2，a－1＝1，2 于是a＝a＋1所以。
1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
2013·课标全国ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
1)当a＝－2时，求不等式f(x)a1－，时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． (2)设a>22解－1，且当x∈ (1)当a＝－2时，不等式f(x)3<0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，3x－6，x－x－2x≤1，21则y＝>1，1－5x，x2
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0， 所以原不等式的解集是{x|0a1(2)∵a>－1，则－<，22
f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|
2xa＋1 a1＝22a4∴a＋1≤－3，即a≤， 2322a1－上恒成立． 即a＋1≤x＋3在x∈a1－，时，f(x)＝a＋1， 当x∈
3. ∴a的取值范围为4－1，考点二证明不等式。
例2 已知a，b为正实数．
a2b2(1)求证：a＋b； ba
2x21－x
2)利用(1)的结论求函数y＝(0(1)证明方法一 ∵a>0，b>0，ba＝a＋b＋≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2. ba∴(a＋b)223abb322a
a2b2∴a＋b，当且仅当a＝b时等号成立． ba
a3＋b3－a2b－ab2a2b2方法二 ∵(a＋b)＝baab
abab2－b3a3－a2b－
aba－b－b2a－ba2
. aba＋b2a－b
又∵aa＋b2a－b>0，b>0，≥0， ab
当且仅当a＝b时等号成立．
a2b2∵a＋b. ba
2)解 ∵00，2x21－x
由(1)的结论，函数y＝≥(1－x)＋x＝1. x1－x
1当且仅当1－x＝x，即x＝ 2
2x21－x
函数y＋x<1)的最小值为。
1. x1－x
1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．
2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式或绝对值不等式的性质证明．
1)(2013·课标全国ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
1a2b2c2①ab＋bc＋ca≤＋1. 3bca
证明 ①由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得。
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
1所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. 3
a2b2c2②因为b≥2a，＋c≥2b，a≥2c， bca
a2b2c2故(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， bca
a2b2c2a2b2c2即a＋b＋c.所以＋≥1. bcabca
115(2)(2012·江苏)已知实数x，y满足：|x＋y|<，2x－y|<|y|<.3618
证明因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，11由题设知|x＋y|<|2x－y|<，36
从而3|y|<|y|<.
36618考点三不等式的综合应用。
例3 (1)(2013·陕西改编)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，求(am＋bn)(bm
an)的最小值．
解由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥aman＋bn)2＝mn(a＋b)2＝2.
2)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(＋2≥63，并确定a，b，c为何。
abc值时，等号成立．
证明方法一因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式得 2
a2＋b2＋c2≥3(abc)
31111＋≥3(abc)－ abc31112所以(＋＋2≥9(abc).
abc311122故a2＋b2＋c2＋(＋2≥3(abc)＋9(abc)abc3322
又3(abc)9(abc)－≥227＝63，33所以原式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立． 22
当且仅当3(abc9(abc)－时，③式等号成立．
故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．
方法二因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式得 a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac.
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. 111111
同理≥，abcabbcac111
故a2＋b2＋c2＋(＋2abc
a2＋b2＋c2＋＋＋
abcabbcac333
ab＋bc＋ac＋＋abbcac
63. ③所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．
1故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．
利用算术—几何平均不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构。
造出算术—几何平均不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．
已知函数f(x)＝|x－2|＋|x－4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a2
b2＋c2＝n2＋p2＋q2＝m.
1)求m的值；
n4p4q4
22(1)解方法一 f(x)＝|x－2|＋|x－4|＝，x≥4(2)求证：2. abc2x－6，x≤2－2x＋6
方法二 f(x)＝|x－2|＋|x－4|≥|x－2)－(x－4)|＝2，当且仅当2≤x≤4时，等号成立，故m＝2.
acba， (a＋b＋c)≥bcna＋·b·c(2)证明 ·q2p2＋n2＋2222pq
abcn4p4q4npq2222＋×2≥(n＋p＋q)＝4， 即。
故。2. abc444222222 可得函数的最小值为2.故m＝
1． 对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法．
2． 使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x＋2|＋|x－4|≥|x＋2)－(x－4)|＝6.
3． 易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算术—几何平均不等式、
柯西不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件。
1． 若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，求m的取值范围．
第4讲不等式
知识要点归纳 一，线性规划。1，概念总结，约束条件，目标函数，线性规划问题，可行解，可行域，最优解。2，方法总结。3，均值不等式 对勾函数 二，真题讲解。1.2015高考四川，理9 如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为 a 16 b 18 c 25d 2.2015高考北京，理2 若，满足则的最...
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