年高考理科数学真题 选修4 5不等式选讲

发布 2022-03-27 11:58:28 阅读 4432

选修4-5 不等式选讲。

考点不等式选讲。

1.(2016·全国ⅰ,24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.

1)在图中画出y=f(x)的图象;

2)求不等式|f(x)|>1的解集。

1.解(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示。

2)当f(x)=1时,可得x=1或x=3;

当f(x)=-1时,可得x=或x=5,故f(x)>1的解集为。

2)当x∈r时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,所以当x∈r时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①

当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解。

当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.

所以a的取值范围是[2,+∞

3.(2016·全国ⅱ,24)已知函数f(x)=+m为不等式f(x)<2的解集。

1)求m;2)证明:当a,b∈m时,|a+b|<|1+ab|.

3.(1)解 f(x)=

当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,所以,-1当-当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以,-所以f(x)<2的解集m=.

1)求实数a,b的值;

2)求+的最大值。

5.解(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则解得a=-3,b=1.

2) +2=4,当且仅当=,即t=1时等号成立,故(+)max=4.

6.(2015·新课标全国ⅰ,24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.

1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围。

6.解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.

当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;

当-10,解得当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.

所以f(x)>1的解集为。

2)由题设可得,f(x)=

所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为a,b(2a+1,0),c(a,a+1),abc的面积为 (a+1)2.由题设得 (a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞

7.(2015·新课标全国ⅱ,24)设a、b、c、d均为正数,且a+b=c+d,证明:

1)若ab>cd,则+>+

2) +是|a-b|<|c-d|的充要条件。

7.证明 (1)因为(+)2=a+b+2,(+2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+2.因此+>+

2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.

因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+

若+>+则(+)2>(+2,即a+b+2>c+d+2.

因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.

因此|a-b|<|c-d|.综上,+>是|a-b|<|c-d|的充要条件。

8.(2014·广东,9)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为___

8. [原不等式等价于。

或或。解得x≥2或x≤-3.故原不等式的解集为。]

9.(2014·湖南,13)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为,则a

9.-3 [依题意,知a≠0.|ax-2|<3-30时,不等式的解集为,从而有此方程组无解。

当a<0时,不等式的解集为,从而有解得a=-3.]

10.(2014·重庆,16)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是___

10. [令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min=,依题意得a2+a+2≤-1≤a≤.]

11.(2014·新课标全国ⅱ,24)设函数f(x)=|x+|+x-a|(a>0).

1)证明:f(x)≥2;

2)若f(3)<5,求a的取值范围。

11.(1)证明由a>0,有f(x)=|x+|+x-a|≥|x+-(x-a)|=a≥2.所以f(x)≥2.

2)解 f(3)=|3+|+3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3当0综上,a的取值范围是。

12.(2014·天津,19)已知q和n均为给定的大于1的自然数。设集合m=,集合a=.

1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合a;

2)设s,t∈a,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈m,i=1,2,…,n.证明:若an12.

(1)解当q=2,n=3时,m=,a=.可得,a=.

2)证明由s,t∈a,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈m,i=1,2,…,n及an所以,s

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