【考点27】 曲线与方程。
1．(2008上海20)（16分）设p(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系xoy中的点，l是经过原点与点(1,b)的直线，记q是直线l与抛物线x2＝2py（p≠0）的异于原点的交点。
（1）已知a＝1，b＝2，p＝2，求点q的坐标。
（2）已知点p(a,b)（ab≠0）在椭圆+y2＝1上，p＝，求证：点q落在双曲线4x2－4y2＝1上。
（3）已知动点p(a,b)满足ab≠0，p＝，若点q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点p的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由。
2．(2008广东18)（14分）设，抛物线方程为。
如图所示，过点轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为g.已知抛物线在点g的切线经过椭圆的右焦点f1.
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程2）设a、b分别是椭圆长轴的左、右端点，试**在抛物线上是否存在点p，使得△abp为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.
3．（2009山东9）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为。
（a） （b）5 （c） （d）
4．（2009海南宁夏20） 已知椭圆c的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。
（i）求椭圆c的方程；
（ⅱ）若p为椭圆c上的动点，m为过p且垂直于轴的直线上的点，，求点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
5．（2009福建理19）已知a,b 分别为曲线c： +1（y0,a>0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点b,且与x轴垂直，s为l上异于点b的一点，连结as交曲线c于点t.
（i）若曲线c为半圆，点t为圆弧ab的三等分点，试求出点s的坐标；
（ii）如图，点m是以sb为直径的圆与线段tb的交点，试问：是否存在a’,使得o,m,s三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。
6．（2009上海数学文17）点p（4，－2）与圆上任一点连续的中点轨迹方程是ab．
cd．7．（2009山东文22）设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，动点的轨迹为e.
（ⅰ）求轨迹e的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（ⅱ）已知。证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹e恒有两个交点a，b，且oa⊥ob（o为坐标原点），并求该圆的方程；
（ⅲ）已知。设直线与圆c：x2+y2=r2 (1＜r＜2)相切于a1，且与轨迹e只有一个公共点b1.当r为何值时，取得最大值？并求最大值。
8．（2009海南宁夏文20）已知椭圆c的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。
（i）求椭圆c的方程；
（ⅱ）若p为椭圆c上的动点，m为过p且垂直于轴的直线上的点，，（为椭圆c的离心率）求点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
高考真题答案与解析。
数学（理）考点27】曲线与方程。
1．解：（1）当时，解方程组。
即点q的坐标为（8，16）。 3分。
证明]（2）由方程组。
即点q的坐标为 ……5分。
因此点q落在双曲线 ……8分。
（3）设q所在抛物线的方程为 ……10分。
将 ……12分。
……16分。
2．（本小题满分14分）
解析】（1）由得，当得， g点的坐标为，过点g的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点，以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。
若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为。
和，.关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
3、【答案】d
解析]设双曲线的渐近线方程为，这条直线与抛物线相切，联立，整理得，，故双曲线的离心率为。
4．【解析】：
ⅰ）设椭圆长轴长及半焦距分别为a，c，由已知得。
所以椭圆c的标准方程为。
ⅱ）设。由已知及点p在椭圆c上可得。
整理得。i）时，化简得。
所以点m的轨迹方程为，轨迹的两条平行于x轴的线段。
ii）时，方程变形为。
当时，点m的轨迹为中心原点、实轴在y轴上的双曲线满足的部分。
当时，点m的轨迹为中心原点、实轴在x轴上的双曲线满足的部分。
当时，点m的轨迹为中心原点、长轴在x轴上的椭圆；
存在，请说明理由。
5．【解析】 解法一：
（i）当曲线c为半圆时，a=1，如图，由点t
为圆弧的三等分点得或。
（1）当∠=600时，∠sab=300．
又=2，故在中，有．；
（2）当∠bot=1200时，同理可求得点s的坐标为（1，）．
综上，或．ⅱ）假设存在，使得o，m，s三点共线．
由于点m在以sb为直径的圆上，故bt⊥os．
显然，直线as的斜率存在且，可设直线as的方程为。
由得。设点，则有。故。由得
由bt垂直os，得即。
k>0，a>0，∴
经检验，当时，o，m，s三点共线．
故存在，使得o，m，s三点共线．
解法二：ⅰ）同解法一．
ⅱ）假设存在，使得o，m，s三点共线．
由于点m在以sb为直径的圆上，故sm⊥bt．
显然，直线as的斜率存在且，可设直线as的方程为。
由，得。设点，则有。
故从而，亦即。
故。由得，所以直线sm的方程为。
o，s，m三点共线当且仅当o在直线sm上，即。
故存在，使得o，m，s三点共线．
6.【答案】a
解析】设所求轨迹上任一点坐标为(,)则为圆上的点，代入整理可得， 故应选a.
7.【解析】：（因为a⊥b,所以a·b＝0，即（mx,y+1）·（x,y-1）=0,故mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.
当m=0时，该方程表示两条直线；
当m＝1时，该方程表示圆；
当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；
当m＜0时，该方程表示双曲线。
（ⅱ）当时，轨迹e的方程为，设圆的方程为x2+y2=r2（0＜r＜1＝，当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，a（x1,y1）,b（x2,y2）,所以。
即t2=r2（1+k2
因为 oa⊥ob，所以 x1x2+y1y1=0,即 x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0,整理得 （1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0
由方程组 消去y得。
1+4k2）x2+8ktx+4t2-4=0
由韦达定理。
代入②式并整理得。
即。结合①式有。
当切线斜率不存在时，也满足题意，故所求圆的方程为
（ⅲ）显然，直线的斜率存在，设的方程
轨迹e的方程为。
由直线与圆相切得。
且对应③式有。
即 由方程组
解得。当与轨迹e只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的。由韦达定理。
又b1在椭圆上，所以。
因为与圆c相切，所以。
其中，等号成立的条件。
即。故当时，的最大值为1。
8．【解析】：（设椭圆长轴长及半焦距分别为a，c，由已知得。
所以椭圆c的标准方程为。
ⅱ）设，由已知得。而，故。
由点p在椭圆c上得。
代入①式并化简得。
所以点m的轨迹方程为。
轨迹是两条平行于轴的线段。
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