2023年上海高考数学（理科）真题。
一、解答题（本大题共有14题，满分56分）
1. 设，则不等式的解集为。
答案】解析】，即，故解集为。
2. 设，其中为虚数单位，则。
答案】解析】，故。
3.:,则的距离为。
答案】解析】
4. 某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为，则这组数据的中位数是___米）答案】
5. 已知点在函数的图像上，则的反函数。
答案】解析】，故，
6. 如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于。
答案】解析】,
7. 方程在区间上的解为。
答案】解析】，即。
8. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于。
答案】解析】，通项。
取。常数项为。
9. 已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于。
答案】解析】，
10. 设，若关于的方程组无解，则的取值范围是。
答案】解析】由已知，，且，∴
11. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大。
值为。答案】
12. 在平面直角坐标系中，已知， ,是曲线上一个动点，则的取值范围。是。答案】
解析】设，，,
13. 设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组。
的组数为。答案】
解析】(i)若。
若，则； 若，则。
ii)若，若，则；若，则。
共组。14. 如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是。
答案】解析】
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15. 设，则“”是“”的( )
a. 充分非必要条件 b. 必要非充分条件 c. 充要条件 d. 既非充分也非必要条件。
答案】a16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )
a. b. c. d.
答案】d解析】时，达到最大。
17. 已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是( )
ab., cd.,
答案】b解析】,
即。若，则，不可能成立。
若，则，b成立。
18. 设是定义域为的三个函数，对于命题：①若，，均为增函数，则中至少有一个为增函数；②若，，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数，下列判断正确的是( )
a. ①和②均为真命题b. ①和②均为假命题。
c. ①为真命题，②为假命题d. ①为假命题，②为真命题。
答案】d解析】①不成立，可举反例。
前两式作差，可得。
结合第三式，可得，
也有。②正确。
故选d三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19. （本题满分12分）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。
1) 求三棱锥的体积。
2) 求异面直线与所成角的大小。
解析】(1) 连，则。
为正三角形。
2) 设点在下底面圆周的射影为，连，则。
为直线与所成角（或补角）连。
为正三角形。
直线与所成角大小为。
20．（本题满分14分）
有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜。
地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和。
的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图。
1) 求菜地内的分界线的方程。
2) 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上。
纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并。
判断哪一个更接近于面积的经验值。
解析】(1) 设分界线上任一点为，依题意。
可得。2) 设，则
设所表述的矩形面积为，则。
设五边形面积为，则。
五边形的面积更接近的面积。
21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点。
1) 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程。
2) 设，若的斜率存在，且，求的斜率。
解析】(1)由已知，
取，得， 即。
渐近线方程为。
2)若，则双曲线为， 设，，则。
代入(*)式，可得。
直线的斜率存在，故。
设直线为，代入。
得，且。直线的斜率为。
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知，函数。
1) 当时，解不等式。
2) 若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围。
3) 设，若对任意，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过，求。
的取值范围。
解析】(1)
不等式的解为或。
2)依题意，
可得。即 ②
当时，方程②的解为，代入①式，成立。
当时，方程②的解为，代入①式，成立。
当且时，方程②的解为。
若为方程①的解，则，即。
若为方程①的解，则，即。
要使得方程①有且仅有一个解，则。
综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则的取值范围为或或。
3)在上单调递减。
依题意， 即，即。
设，则。当时，
当时， 函数在递减。
的取值范围为。
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质。
1) 若具有性质。 且， ,求；
2) 若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；
3) 设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条。
件为“是常数列”.
解析】(1)
2)设的公差为，的公差为，则， 而， 但。
故不具有性质。
3) 充分性：若为常数列，设。
则。若存在使得，则，
故具有性质。
必要性：若对任意，具有性质。
则。设函数，
由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点。
一定能找到一个，使得。
故。是常数列。
2023年高考数学理科试卷真题
4 0 是 函数f x x 1 x 在区间 0，内单调递增 的。a 充分不必要条件b 必要不充分条件。c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件。5 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生。随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学检测中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，9...
2023年上海高考数学理科试卷 带详解
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2023年北京高考数学理科答案
20 解 1 由题意可知，2 先用反证法证明 若则，同理可知，由题目所有数和为即 与题目条件矛盾 易知当时，存在 的最大值为1 3 的最大值为。首先构造满足的 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且。下面证明是最大值。若不然，则存在一个数表，使得。由的定义知的每一列两个数之和的绝...