福建中学数学２０１年第１（）期。
评析本题的实质仍是寻找三条相互垂直的直。
线从而建立恰当的空间直角坐标系．但由于该几何体是将考生所熟悉的长方体切割后所得到的，因而。
习方式”的考查极为重视，将其考查与数学能力、学。
习潜能和创新意识的考查联系起来．这就必然要求需要以立体几何为载体构造开放性和**性试题，需要考生有较强的空间想象能力，能够利用第（ｉ）问所给的铺垫敏锐察觉建系的关键位置，考查了直觉思维和几何直观能力．
此类试题所依托的几何体不常规，需要考生能透过表象发现实质所在，对空间想象能力和几何直。
以有效考查考生的**能力，体现高考的区分度．
例７（２年高考福建卷理２０）四棱锥ｐ一．ａｂ中，ｐａ上底面ａｂｃ四边形ａｂｃ中，ｂ上。
ｉ）求证：平面ｐａｂ平面ｐａｄ
１１）设ａｂ＝
观能力的要求较前两类几何体更高．
５）以知识交汇为载体考查创新意识。
近两年的高考试卷**现了许多立体几何知识。
与其它知识交汇的试题，体现了高考在知识网络的交汇处命题和能力立意的命题思想，有效地规避了试题模式化，考查考生的创新意识．
ｉ）若直线ｐｂ与平面ｐｃｄ所成的角为３０。求线段ａｂ的长；
ｉｉ）**段ａｄ上是否存在一个点ｇ，使得点ｇ到点ｐ，ｂ的距离都相等？说明理由．
评析立体几何中的开放性和探索性试题由于有空间向量的工具，其探索往往缺少一定的深度．本题的第（ｉｉ问中的向量法并非是最优的选择，其计算量显然较大．需要考生独立思考，分析条件所呈现的信息，积极探索，从而创造性地解决问题．因此，考查学生是否具备“积极主动、勇于探索的学习。
例６（２年高考江西卷文１８）如图，在ａａｂ中为ａｂ边上一动点，ｐｉ交ａｃ于点ｄ，现将ａｐｄ沿ｐｄ翻折至ａｐｄ使＇孚面ｐｄａ平面ｐｂｃ
ｉ）棱锥ａ．一ｐｂｃ体积最大时，求ｐａ的长；（１若点尸为ａｂ的中点，ｅ为ａｉｃ的中点，求证：ａｉ上ｄｅ．
方式”的试题实际上已成为最具区分度的试题．
基于上述分类评析，不难看出，课标背景 ｆ的。
高考，在立体几何的考查方面，重的是立体几何基本概念和基础知识的考查，重的是读图、作图与用图能力的考查，重的是知识网络与方法体系完整性的考查，重的是空间想象能力和创新意识等数学能力的考查．这应该在一定的程度上昭示了立体几何之“学”、之“教”、之“考”的方向．
参考文献。１】吴金炳，林金沂．基于选拔的市体几何考查研究．福建中学数学，２０
评析函数是描述变量之间的依赖关系，ａ
导数为研究变量与函数提供了重要的方法和手段．在立体几何试题中将几何体的某些点依照某种条件运动变化后即可构造与函数相结合的试题，并运用函数和方程的思想解决问题，这种交汇是自然。
和谐的，能有效地考查考生思维的深度和广度，考查考生综合运用知识的能力．
６）以开放和**为载体考查**能力。
高考对学生是否具备“积极主动、勇于探索的学。
２】黄炳锋．基于应用的立体几何的考查研究．福建中学数学，２０
１一ｌ４０１１年高考江西数学理科卷题１０赏析。
吴文中 ，柯跃海陈清华。
福建师范大学数学与计算机科学学院（３５福建省泉州市泉港区第二中学（３６
０ｌ１年高考江西数学理科卷题ｌ０的命制在体现。
又努力展现数学的文化价值．本文拟从背景探析、命题解读和解法展现阐释笔者对其的赏识．
高考“源于教材、高于教材”的同时，较好地渗透了课标的课程理念，既注重知识、能力、素养的考查，．考题再现。
０１１年第ｌ０期。
福建中学数学。
０１１年高考江西数学理科卷题ｌｏ（以下简称考题）：如图，一个直径为１的小圆沿着直径为２的大圆内壁的逆时针方向滚动，和ｊｖ是小圆的一条固定直径的。
两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点，ⅳ在大圆内所绘出的图形大致是。
．背景探析。
**之后可以发现，考题的命制事实上是基于。
下列背景材料的．
１）哥自尼定理。
设半径为ｒ的动圆在半径为２ｒ的定圆内无滑动的滚动，则动圆圆周上的一个定点的轨迹是定圆的。
一。条直径．
２）人民教育出版社ａ版－数学（必修２）（以下简称人教ａ版）第１２４页，习题４．１组第２题。
长为２ａ的线段ａｂ的两个端点和ｂ分别在ｘ
轴和ｙ轴上滑动，求线段ａｂ的中点的轨迹方程．
３）人教ａ版－数学（选修４—４坐标系与参数方程）第４４页，习题２．４第４题。
一。个半径是４，的定圆ｄ和一个半径是的动圆。
相内切．当圆ｃ沿圆ｄ无滑动地滚动时，探求圆ｃ上定点。
开始时在点 ）的转迹的参数方程．
４）人教ａ版数学（选修４—４坐标系与参数方程）第４５页，阅读材料摆线及其应用。
在数学史上，发现圆锥曲线后，受到科学家关。
注最多的曲线应是摆线……
不难看出，考题实际上就是将材料（３）中的“半径是４ｒ的定圆”改为“直径是２的定圆”，同时将“半。
径是ｒ的动圆改为直径是１的动圆”；四个备选项则与材料４所给出的四条摆线有关，但不露痕迹．
．命题解读。
１）命题意图。
从命题意图上看，考题旨在综合考查圆的几何性质、直线与圆的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力和创新意识，考查分类与整合思想和化归与转化思想．
２）呈现方式。
从呈现方式看，考题把背景材料中的解答题改为了选择题．题干简单、明了，没有内摆线等方面的提示语，配备图形，加上提升语“点，ⅳ在大。
圆内所绘出的图形大致是”，模糊中把要求说得明白；选项以图形的方式呈现，对称、和谐、简洁，动静相融，精彩纷呈，给人无穷的想象空间．特别是备选项ａ的美妙感觉来自“意料之外”——对题设经过分析证明后的确是直径，在“情理之中”的美妙感觉就油然而生了．这就是数学的奇异美．
．解法展现。
由于背景厚重，因而考题也就有了较为多样的。
解决方法．１）排除法。
审题后可以看出，题干虽然没出现内摆线的明显提示，但这与内摆线的定义几乎完全一样．这样，由背景材料（１）哥自尼定理不难得出正确选项ａ．
当然，若对背景材料（１）不熟悉，也可由背景。
材料（３）或背景材料（４）可知备选项ｂ中有四尖。
点星形线和线段两种图形应排除；备选项ｃ是点，ｊｖ在把小动圆改为小定圆后运动所得的某些圆弧，显然不合题意；再由背景材料（４）可知备选项ｄ是。
四叶玫瑰线”，非内摆线，也应排除．故选ａ．
２）直接法。
如右图，建立直角坐标系，由题意可知，动圆ｃ总。
与定圆ｄ相内切，且动圆ｃ总过圆ｄ的圆心．
设某时刻两圆相切于点。
此时动点所在的位置。
为，则大圆圆弧ａｍ的长与小圆弧ａｍ 的长之差为０或２丌（切点在。
三、四象限时，差为０；切点在。
一、二象限时，差为２兀）．
以切点在第三象限为例．
记直线ｏｍ与圆ｃ的交点为则。
故。此时大圆圆弧ａｍ的长为 ：ｏ小圆圆。
弧ａｍ，的长为故‘：，即小圆的。
两段圆弧ａｍ 与。
的长相等，从而点与ｍ 重。
合，即动点ｍ在起始线段ｍｏ上运动，同理可知，福建中学数学。
０１１年第１０期。
此时点～**段ｂｏ上运动．点ａ在其他象限类似，故，～的轨迹为相互垂直的线段．选ａ．
３）特值法。
如右图，建立直角坐标系．由题意可知，动圆ｃ总与、
定圆ｄ相内切．又动圆ｃ的直径是定圆ｐ直径的一半，故动圆ｃ总过定圆的圆心ｐ．
设动圆ｃ某时刻旋转到第三象限的角平线上时，分别与．轴和ｙ轴相交于点ｐ，ｑ则ｏｐ上ｏｑ．
义ｃｐ＝所以芸．从。
而ｐｑ上ｏａ，且线段ｐ９过动圆的圆心ｃ，于是ｐｑ＝由此得点ｐ，分别与点，』ｖ重合．
据此并借助圆的对称性，观察各备选项知选ａ．（类比法。
先给出背景材料（１）的解法：
建立如右图所示的直角坐标系，设线段的中点坐标为ｐ（ｘ
当点 ，０不共线时，因为 ｂ（是直角三角形，故ｉｏｐ去 『＝口，可得。
＋ｙ所以ｊ￡＿点的轨迹方程为 。＋
当点 ，０共线时，ｉｏ去 ｉ＝口仍然成。
综上可知，ｐ点的轨迹方程为ｘ ＋由考题的题意知，动圆ｃ恒过定圆的圆心ｄ．又。
动圆ｃ内切于定圆（），线段ｍｎ始终为动圆ｃ的直径，且动圆ｃ的直径定圆ｄ直径的一半，所以。
ｏｃ｛即动圆圆心ｃ的轨迹为以定圆的圆心。
为圆心、线段ｍｎ的一半长为半径的圆．
类比背景材料（１）及其解法，可知线段ｍｎ得。
端点应在坐标轴上滑动，观察各备选项可知，选ａ．
５）参数法。
先给出背景材料（３）的一般化与相应的解法：
已知大圆０的半径为～
一，小圆ｃ的半径为ｒ．没大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆周上。
某一定点ｍ的轨迹叫做内摆线（或内旋轮线），求内摆线的方程．
解设运动开始时动点与大圆周上的点ａ重。
合，并取大圆圆心ｄ为原点，ｏａ为ｘ轴建立直角坐标系（如右图）．
设经过某一过程之后，小圆与大圆的接触点为ｂ，并设小圆圆心为ｃ，那么点ｃ一定在圆０的半。
径ｏｂ上，从而有ｏｍ＝
设０为向量ｏｃ与ｘ轴正向所成的角，为向量。
ｍ与向量ｃｂ所成的角，为向量ｃｍ与轴正向所成的角，那么ｉ，ｊ分别为ｘ轴，ｙ轴的单位向量，则ｏｃ＝尺一ｒ）ｃ尺。
所以 ＝＂从而向量ｃｍ与ｘ轴正向所成的角。
一。．由于ｌｉ：所以。
型０＋ｊ
一。生一 ｓｉ
尺一ｒ）ｓ一ｎ
设点的坐标为（ｘ，那么由上式得内摆线。
的坐标式参数方程为。
生。如右图，凼为线段ｍｎ为圆ｃ的直径，所以向量丽与向量历所成的夹角为一 ，此时向量与ｘ轴正向所成的角为。
（兀一 ）：兀＋（一 ）：尢一。
故 ＝一ｉｒｃ兀一竿 ｓ／竿＼ｒ，
ｊｉｒ生——．
从而＝ ＋一。
（一ｒ）ｃ一ｒｃｏ
０１１年第１０期福建中学数学。
的轨迹的参数方程．
ｌ（尺一。一ｒ）ｃ一ｒｃ。
虽然考题解法多样，但都以圆的相关知识为载体．这无疑体现了普通高中课程标准（实验）和＜＜２年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科课程标准实验版）数学的相关要求．
作为结束，应该指出，考题在与圆相关的知识网络的交汇处设计，对圆等基础知识的考查达到必要的深度．同时，考题以内摆线的相关知识作为背景材料，考查知识发生发展的过程性、**性和应用性，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能．
设ⅳ点的坐标为（，ｙ那么由上式得ｊｖ点的。
坐标式参数方程为。旧。
特殊地，当ｒ＝２时，由①式知ｍ点的坐标式参数方程为。
由②式知ⅳ点的坐标式参数方程为。
基于这样的认识，可以认为，考题事实上也为。
由③、④式知点ｍ，ｎ的轨迹分别为圆ｏ在轴。
和ｙ轴上的直径，选ａ．
特殊地，当ｒ＝４时，由①式可得点的坐标。
正确看待选修课和正确看待教材本上的阅读材料作。
出了合理的引领一一不忽视，更不无视！这应该也是考题的又一个值得赏识之处．
参考文献。１】王怀昌．摆线的课件制作．数学通报，２０
２】罗增儒．从数学高考命题谈数学高考解题．中学数学教学参考（上旬），０
式参数方程为。
此时点的轨迹为四尖点星形线（如右图所示）．
此时恰是备选项ｂ中的部分图。
３】吕林根，许子道．解析几何．北京：高等教育出版社，１９叶立军．数学方**．杭州：浙江大学出版社，２０
５］刘绍学．普通高中课程标准实验教科书ａ版．数学（必修２）．北京：人民教育出版社，２０
６］刘绍学．普通高中课程标准实验教科书ａ版数擞学（选修４４）北京：人民教育出版社，２０
形．所得的参数方程⑤式恰是背景材料（２）中动点。
例析基于“构造法’’的高考试题。
郑丽新。福建省莆田第十三中学（３５
思想方法．基于这样的理解，本文将围绕“构造法”
以“构造法”为主流的题型，已成为近年来高考的。
一。个亮点．所谓“构造法”，就是根据题设条件或结论这一数学方法，例析相关的高考试题．
所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的模型，进而借助模型解决问题的方法．
高考试题不仅具有选拔甄别功能，而且还具有很好的教学功能，因为高考试题是命题专家潜心研究、匠心独运的结果，考题往往具有较强的原创性，．构造数列辅助解题。
例１（２年高考全国卷）设数列｛｝满足０１＝一口 ＝３
ｉ）求数列｛ａ 的通项公式；
ｉｉ）略．有利于考查学生的研究意识和创新精神．当然，高。
考试题也不是无本之木、无源之水，有不少考题往往很有规律，给人以似曾相识的感觉，仔细推敲，这种似曾相识的感觉实际上源于试题所蕴含的数学。
解析（ｉ）令ｃ＝ａ一口 ，贝０ｃ１一口ｌ＝３
．．ｃ为定值，．．数列 ）是以６
’二。为首项，以４为公比的等比数列。
2023年高考数学理科 辽宁卷 解析
1 已知全集u 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 集合a 0,1,3,5,8 集合b 2,4,5,6,8 则为。a b d 2 复数。a bc d 3 已知两个非零向量a，b满足 a b ab 则下面结论正确的是。a a bb a b c 中，已知a4 a8 16，则该数列前11项和s11 a...
2023年高考数学理科试卷真题
4 0 是 函数f x x 1 x 在区间 0，内单调递增 的。a 充分不必要条件b 必要不充分条件。c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件。5 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生。随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学检测中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，9...
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2012年普通高等学校招生全国统一考试 重庆解析卷 数学理科。1.填空题 2.1.在等差数列中，则的前5项和 a.7b.15 c.20 d.25 2.不等式的解集为。a.b.c.d.答案 a解析 考点定位 本题主要考察了分式不等式的解法，解题的关键是灵活运用不等式的性质，属于基础试题。3.对任意的实...