2023年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷。
理科数学试题参***及评分标准。
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．
1．选c.【解析】由题知，∴.
2．选a.【解析】，∴
3．选d.【解析】由题知：时，，满足题意；时，由，满足题意．
4．选b.【解析】圆心为，过点的最长弦（直径）斜率为，且最长弦与最短弦垂直，∴过点的最短弦所在直线的斜率为，倾斜角是．
5．选d.【解析】a、b可能出现与相交；c可能出现与相交、异面；由线面垂直的性质可得d正确．
6．选c.【解析】由题知：，解得即是所求。
7．选b.【解析】易得外接球的半径，则外接球的体积。
8．选d.【解析】由题知：，∴即：对恒成立，∴从第2项起，以后各项均为正数，故．
9．选c.【解析】画出可行域如图，，可见当时。
取最小值，当时取最大值．
10．选c.【解析】由题知：∴故．
11．选a.【解析】由题知的周期为2，所以在上为减函数，故偶函数在上为增函数，因为，所以，.于是，故选a.
12．选b.【解析】设直线的方程为， 、则。
由消去，得，∴
.直线的方程为，将及，代入得，化简得，∴，直线过点．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．填。【解析】次数在以上（含次）的频率之和为。
则高一学生的达标率为．
14．填。【解析】易得在等比数列中，，公比，∴．
15．填。【解析】在展开式中，∴由题意得，，.故．
16．填。【解析】，可设直线，则，∴，点在抛物线上，得，，即，．
三、解答题：共6小题，共70分．
17．（1）设小时后甲船航行到处，，由余弦定理得。
海里6分。2）由得．设经过小时两船在处相遇，则在△中，由正弦定理有12分。
18．（1）取中点，连结。 由题知：，且，在△中，边上的高为，
由于，设到平面的距离为，则，∴，即到平面的距离为6分。
2）如图所示，建立空间直角坐标系，可取为平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为．
则，， 其中，∴不妨取，则．
…12分。
19．（1）设购买小区的人数为，则，∴恰有人购买小区房产的概率为6分。
2）可能的取值为．
个人购买房产共有种不同方法．
（也可用求解）
的分布列为
12分。20.（1）设点，则， ，由题知，化简得。
即是点的轨迹的方程6分。
2）设，，，可得。
两式相减，得。
变形可得，即，其中表示的中点与坐标原点连线的斜率，又，∴，
同理，∥，其中为的中点。
为的中点12分。
另解：设，，，则
由，化为。即。
若轴，得，由（*）及②可得。
∴，∴为的中点。
若与轴不垂直，可设其方程为。
由消去，得，.
代入（*）化简得。
即，∵，故过原点，由对称性知为的中点12分。
21.（1）显然，．
设切点，则，即．,又．,易知，故．
由，得．因此当时， ,于是单调递减；
当时，，于是单调递增．
所以的减区间是，增区间是6分。
2）由．若≤时，，于是在上单调递增，因此不可能有两个零点；若时，易得的减区间是，增区间是．
在上有两解。
于是即为所求12分。
22.选修4-1：几何证明选讲。
1）∵是的切线，是弦，∴．5分。
2）∵，又，∴△有，即。 而、是的相交弦，∴，故， ∴
由切割线定理有10分。
23.选修4-4：坐标系与参数方程。
1）设曲线上任意一点，由变换得代入得，所以曲线是以为圆心，半径为的圆。
的极坐标方程为5分。
2）曲线的直角坐标方程为，由得或所以交点为或，两点的坐标均满足曲线的直角。
坐标方程．直线与曲线的交点也在曲线上10分。
24.选修4-5：不等式选讲。
1）不等式可化为：≤，解得：≥．
故不等式≤的解集为5分。
2）由≤得：≤．
当且仅当，即时取“”．
原问题等价于≤，解得≤≤1．
的取值范围是≤≤110分。
以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．
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