一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项。
1.已知，函数的定义域为则（ ）c
abcd．2．设正项等比数列，成等差数列，公差，且的前三项和为，则的通项为b
ab． c． d．
3.已知直线a、b和平面m，则的一个必要不充分条件是（ ）d
ab. cd. 与平面m成等角。
4.函数的图象的大致形状是（ ）d
5． 长方体中，为的中点，，，则a
ab． c． d．
6．如果实数满足：，则目标函数的最大值为c
a.2b.3cd.4
7． 台风中心从a地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市b在a的正东40千米处，b城市处于危险区内的时间为（ ）b
a．0.5小时 b．1小时 c．1.5小时 d．2小时。
8．对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，例如[2]=2；2；这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么的值为( )c
a．21b．76c． 264d．642
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置。
9．中，，，为中最大角，为上一点，，则 ．
10．调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：
从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有99%
参考公式：，其中。
11．的值等于。
12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是。
13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、
的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种。
14．（几何证明选讲选做题）如图所示，ab是半径等于3的圆o的直径，cd是圆o的弦，ba，dc的延长线交于点p， 若pa=4，pc=5，则。
15．（坐标系与参数方程选做题）圆心的极坐标为，半径为3的圆的极坐标方程是。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函的部分图象如图所示：
1)求的值；
2)设，当时，求函数的值域．
解：(1)由图象知：，则：，…2分。
由得：，即：，…4分。
6分。2)由(1)知7分。
10分。当时，，则，的值域为12分。
17．(本小题满分12分)
有５个大小重量相同的球，其中有３个红球２个蓝球，现在有放回地每次抽取一球，抽到一个红球记１分，抽到一个蓝球记分．
1）表示某人抽取３次的得分数，写出的分布列，并计算的期望和方差；
2）若甲乙两人各抽取３次，求甲得分数恰好领先乙２分的概率．
解：１），其分布列为。
4分）的期望是（5分）
的方差是。6分）
答：的期望是，的方差是 （7分）
２）若“甲得分数恰好领先乙２分”为事件，包含以下三个基本事件，即甲得3分乙得1分、甲得1分乙得分或甲得分乙得分， （9分）
则 （11分）
答：甲得分数恰好领先乙２分的概率是 （12分）
18．(本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，点、，已知，的垂直平分线交于，当点动点时，点的轨迹图形设为。
1）求的标准方程；
2）点为上一动点，点为坐标原点，设，求的最大值．
解：（ⅰ设。
是的垂直平分线，点的轨迹图形是为焦点的椭圆 （3分）
其中， （5分）
点的轨迹图形： （7分）
ⅱ）设， 则， （8分）
（9分）（10分）
点满足，， 11分）
（12分）当时，当时，设，则， （13分）
因为，所以，当且仅当时，即时，取得最大值． （14分）
19．(本小题满分14分）
如图（1），是直径的上一点，为的切线，为切点，为等边三角形，连接交于，以为折痕将翻折到图（２）的位置．
1）求证异面直线和互相垂直；
2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．
1）证明：等边三角形中，为的切线，为切点，且为中点
以为折痕将翻折到图（２）的位置时，仍有， （2分）
平面 （4分）
（5分）2）解：在图（2）中，过作于，连接，平面。
平面（7分）
图（1）中，为的直径，为的切线，为切点，中，（8分）
重合。平面（10分）
过作平面于，过作于，连接。
则平面，就是二面角的平面角（11分）
由三棱锥的体积。
得（12分）
等腰三角形中，二面角的正弦值的正弦值为．（14分）
20．(本小题满分14分）设数列为前n项和为sn，数列满足：bn =nan，且数列的前n项和为(n-1)sn+2n (n∈n*)．
1)求a1,a2的值；
2)求证：数列是等比数列；
3)抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n项和为tn，求证：
解：(1)由题意得：a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1) sn +2n；
当n=1时，则有：a1=(1-1)s1 +2，解得：a1=2；
当n=2时，则有：a1+2a2=(2-1)s2 +4，即2+2a2=(2+a2)+4，解得：a2=4。（3分）
2)由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)sn +2n，……得。
a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1= n sn+1+2(n+1) ，
-①得：(n+1)an+1=nsn+1-(n-1)sn+2，（4分）
即 (n+1)(sn+1- sn)= nsn+1-(n-1)sn+2，得sn+1=2sn+2；
sn+1+2=2(sn+2)，（5分）
由s1+2= a1+2=4≠0知。
数列是以4为首项，2为公比的等比数列。（6分）
3)由(2)知 sn +2=4×2n-1-2=2n+1-2，当n≥2时，an= sn- sn-1 =(2n+1-2)-(2n-2)= 2n对n=1也成立，即an= 2n，数列为22，23，25，26，28，29，……它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；（8分）
当 n=2k-1(k∈n*)时，tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ c2+ c4+…+c2k-2)
(22+25+…+23k-1)+(23+26+…+23k-3)
8k-，tn+1= tn+cn+1=×8k-+23k=×8k-，（9分）
= =10分）
5×8k-12≥28，∴＜3。（11分）
当n=2k (k∈n*)时，tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ c2+ c4+…+c2k)
(22+25+…+23k-1)+(23+26+…+23k)
=+=8k-，（12分）
tn+1= tn+cn+1=×8k-+23k+2=×8k-，（13分）
8k-1≥7 ，∴14分）
21．（本小题满分14分）
函数，．1）当时，求的单调区间；
2）当时，讨论的单调性；
3），当，时，恒有解，求的取值范围．
解：（3分）
由题设知。１）时，，则的单减区间是 （4分）
时，，即，则在和上单增，在上单减 （5分）
时，，，则在上单增 （6分）
时，即，则在和上单增，在上单减 （7分）
３）由（２）知，，时，当时得到最小值为 （9分）
时，恒有解，需在时有解
即有解，（10分）
令， ，在上单增
（12分）需，即或
的范围是 （14分）
广东省2019届高三全真模拟卷数学理
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