一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1．若复数，则（ ）
abc． d．
2. 曲线在点p（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
a．-9b．-3c．9d．15
3. 上海世博会期间，有4名同学参加志愿工作，将这4名同学分配到3个场馆工作，要求每个场馆至少一人，则不同的分配方案有（ ）
a.36b.30c.24d.42
4. 已知离散型随机变量服从二项分布且，则与的值分别为。
a、 b、 c、 d、
5. 已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。类比三角形的面积可得四面体的体积为。
a. b.
c. d.
6. 已知，是的导数，若的展开式中的系数大于的展开式中的系数，则的取值范围是( )
a．或 b． c． d．或。
7. 一个篮球运动员投篮一次得分的概率为，得分的概率为，不得分的概率为（），已知他投篮一次得分的期望为，则的最小值为（ ）
abcd．8. 已知r上的连续函数满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。又函数满足：对任意的，都有成立，当时，。若关于的不等式对任意实数x恒成立，则的取值范围( )
ab. cd.
9. 定义在r上的函数及其导函数的图象都是连续不断的曲线，且对于实数，有．现给出如下结论：①；其中结论正确的个数是。
a． 1b． 2c． 3d． 4
10. 如果对任意一个三角形，只要它的三边都在函数的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“和美型函数”.现有下列函数其中是“和美型函数”的函数序号为写出所有正确的序号）
abcd．①②
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11. 按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是。
12. 已知且为偶函数，则
13. 已知x、y的取值如下表所示。
从散点图分析，y与x线性相关，且，则
14.已知，，若向区域上随机投10个点，记落入区域的点数为，则= ．
15. 若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是。
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。
ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；
ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。
17．(本小题满分12分)第七届城市运动会2023年10月16日在江西南昌举行 ，为了搞好接待工作，运动会组委会在某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”， 身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“ 非高个子 ”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。（i）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（ii）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。
18．(本小题满分12分)设等差数列的首项，公差d＝2，前项和为，ⅰ)若成等比数列，求数列的通项公式；
ⅱ) 证明： ,不构成等比数列．
19. (本小题满分12分)一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
ⅰ) 建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程；
ⅱ) 试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？
20．(本小题满分13分)已知函数，，，其中且。
1）求函数的导函数的最小值；
2）当时，求函数的单调区间及极值；
3）若对任意的，函数满足，求实数的取值范围。
21. (本小题满分14分)设函数。
i）求函数的最小值；
ⅱ）若，且，求证：；
ⅲ）若，且，求证：.
一） 5. b d8.
二） 12. -6 13. 14. 15.
三）16（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件c，那么1-p（c）=1-p= ，解得p=……4 分
2）由题意，可取0,1,2,3，；p（=0）=，p（=1）=
p（=2）=，p（=3）=…10分。
所以，随机变量的概率分布列为：
故随机变量x的数学期望为： =0 ……12分。
17.解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，……1分。
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是， …2分。
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．……3分。
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示。
没有一名“高个子”被选中”，则5分。
因此，至少有一人是“高个子”的概率是． 6分。
２）依题意，的取值为．根据茎叶图可知男的高个子有8人，女的有4人；
10分因此，的分布列如下：
12分。18.(ⅰ解：因为，，…3分。
由于若成等比数列；因此，即得． …6分。
ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个，构成等比数列，即．……7分。
因此有，化简得………9分
要使数列的首项存在，上式中的δ≥0．然而………10分。
＝(2m)2－8m(m＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．……13分。
所以，对，不构成等比数列………14分。
19.（1）如图：以抛物线的顶点为原点，中垂线为轴建立直角坐标系。
则设抛物线的方程为，将点代入得
所以抛物线弧ab方程为（）
2）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于则过的切线的斜率为所以切线的方程为：， 令，得， 令，得，所以梯形面积当仅当，即时，成立此时下底边长为答：
当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．
解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于。
则过的切线的斜率为所以切线的方程为：，即运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：
---10分。
当仅当，即时，成立，此时下底边长为
答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．
解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为米，则一腰过点，可设此腰所在直线方程为， 联立，得。
令，得，或（舍），故此腰所在直线方程为。
令，得， 故等腰梯形的面积：
当且仅当，即时，有
此时，下底边长
答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少．
20.解：（i），其中。……1分。
因为，所以，又，所以，……2分。
当且仅当时取等号，其最小值为。……3分。
（ii）当时，，.5分。
的变化如下表：
所以，函数的单调增区间是，；单调减区间是。
函数在处取得极大值，在处取得极小值。……6分。
iii）由题意，.
不妨设，则由得。……7分。
令，则函数在单调递增。 …8分。
在恒成立。 …9分。
即在恒成立。因为，…11分。
因此，只需。解得。
故所求实数的取值范围为。 …12分。
21.解：（i），…1分。
令，得，所以在递减，在递增。 …2分。
所以。……3分。
………5分。
由（i）知当时，，又，∴.7分。
ⅲ）用数学归纳法证明如下：1°当时，由（ⅱ）可知，不等式成立；
2°假设()时不等式成立，即若，且时，不等式成立………8分。
现需证当()时不等式也成立，即证：若，且时，不等式。
成立…9分。
证明如下：设， 则。
同理。由①+②得：
又由（ⅱ）令，则，其中，则有。
∴当时，原不等式也成立。
综上，由1°和2°可知，对任意的原不等式均成立。
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