2023年上海市高考数学试卷。
参***与试题解析。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1．（4分）（2018上海）行列式的值为 18 ．
考点】om：二阶行列式的定义．菁优网版权所有。
专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5r ：矩阵和变换．
分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．
解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．
故答案为：18．
点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．
2．（4分）（2018上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为 ±
考点】kc：双曲线的性质．菁优网版权所有。
专题】11 ：计算题．
分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上。
而双曲线的渐近线方程为y=±
双曲线的渐近线方程为y=±
故答案为：y=±
点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想。
3．（4分）（2018上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为 21 （结果用数值表示）．
考点】da：二项式定理．菁优网版权所有。
专题】38 ：对应思想；4o：定义法；5p ：二项式定理．
分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．
解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为。
tr+1=xr，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．
故答案为：21．
点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．
4．（4分）（2018上海）设常数a∈r，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ．
考点】4r：反函数．菁优网版权所有。
专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4o：定义法；51 ：函数的性质及应用．
分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．
解答】解：∵常数a∈r，函数f（x）=1og2（x+a）．
f（x）的反函数的图象经过点（3，1），函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），log2（1+a）=3，解得a=7．
故答案为：7．
点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（4分）（2018上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5 ．
考点】a8：复数的模．菁优网版权所有。
专题】38 ：对应思想；4a ：数学模型法；5n ：数系的扩充和复数．
分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．
故答案为：5．
点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
6．（4分）（2018上海）记等差数列的前n项和为sn，若a3=0，a6+a7=14，则s7= 14 ．
考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有。
专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4o：定义法；54 ：等差数列与等比数列．
分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出s7．
解答】解：∵等差数列的前n项和为sn，a3=0，a6+a7=14，解得a1=﹣4，d=2，s7=7a1+=﹣28+42=14．
故答案为：14．
点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．（5分）（2018上海）已知α∈，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞上递减，则α= 1 ．
考点】4u：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有。
专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4o：定义法；51 ：函数的性质及应用．
分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．
解答】解：∵α幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞上递减，a是奇数，且a＜0，a=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（5分）（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点a（﹣1，0）、b（2，0），e、f是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为 ﹣3 ．
考点】9o：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有。
专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5a ：平面向量及应用．
分析】据题意可设e（0，a），f（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．
解答】解：根据题意，设e（0，a），f（0，b）；
a=b+2，或b=a+2；且；
当a=b+2时，；
b2+2b﹣2的最小值为；
的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．
9．（5分）（2018上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 （结果用最简分数表示）．
考点】cb：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有。
专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5i ：概率与统计．
分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．
解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：
5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：
．点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．
10．（5分）（2018上海）设等比数列的通项公式为an=qn﹣1（n∈n*），前n项和为sn．若=，则q= 3 ．
考点】8j：数列的极限．菁优网版权所有。
专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．
分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．
解答】解：等比数列的通项公式为a=qn﹣1（n∈n*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，an+1=qn．
可得===可得q=3．
故答案为：3．
点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．
11．（5分）（2018上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点p（p，），q（q，）．若2p+q=36pq，则a= 6 ．
考点】3a：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有。
专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．
分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．
解答】解：函数f（x）=的图象经过点p（p，），q（q，）．
则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．
故答案为：6
点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．
12．（5分）（2018上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为 +
考点】7f：基本不等式及其应用；it：点到直线的距离公式．菁优网版权所有。
专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．
分析】设a（x1，y1），b（x2，y2），=x1，y1），=x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形oab为等边三角形，ab=1，+的几何意义为点a，b两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），（x1，y1），=x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得a，b两点在圆x2+y2=1上，且=1×1×cos∠aob=，即有∠aob=60°，即三角形oab为等边三角形，ab=1，的几何意义为点a，b两点。
到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然a，b在第三象限，ab所在直线与直线x+y=1平行，可设ab：x+y+t=0，（t＞0），由圆心o到直线ab的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．
点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．（5分）（2018上海）设p是椭圆=1上的动点，则p到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
a．2 b．2 c．2 d．4
专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5d ：圆锥曲线的定义、性质与方程．
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