数学二试题。
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1）函数的可去间断点的个数，则（ ）
123无穷多个。
答案】2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学二试题。
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1）函数的可去间断点的个数，则（ ）
123无穷多个。
答案】c 解析】
则当取任何整数时，均无意义。
故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解。
故可去间断点为3个，即。
2）当时，与是等价无穷小，则（ ）
答案】 解析】为等价无穷小，则。
故排除。另外存在，蕴含了故排除。
所以本题选a。
3）设函数的全微分为，则点（ ）
不是的连续点。 不是的极值点。
是的极大值点。 是的极小值点。
答案】 解析】因可得。
又在（0，0）处，故（0，0）为函数的一个极小值点。
4）设函数连续，则（ ）
答案】解析】的积分区域为两部分：
将其写成一块。
故二重积分可以表示为，故答案为c
5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（ ）
有极值点，无零点。 无极值点，有零点。
有极值点，有零点。 无极值点，无零点。
答案】 b
解析】由题意可知，是一个凸函数，即，且在点处的曲率，而，由此可得，在上，，即单调减少，没有极值点。
对于， （拉格朗日中值定理）
而 由零点定理知，在上，有零点。 故应选（b）
6）设函数在区间上的图形为：
则函数的图形为（ ）
答案】 解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：
时，，且单调递减。
时，单调递增。
时，为常函数。
时，为线性函数，单调递增。
由于f(x)为连续函数。
结合这些特点，可见正确选项为。
7）设、均为2阶矩阵，分别为、的伴随矩阵。若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）
答案】 b
解析】根据若。
分块矩阵的行列式即分块矩阵可逆。
8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若。
则为（ ）答案】 a
解析】，即：
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
9）曲线在处的切线方程为。
答案】解析】
所以 所以切线方程为。
10）已知，则。
答案】解析】
因为极限存在所以。
答案】0解析】令。所以。即。
12）设是由方程确定的隐函数，则。
答案】解析】对方程两边关于求导有，得。
对再次求导可得，得
当时，，，代入得。
13）函数在区间上的最小值为
答案】解析】因为，令得驻点为。
又，得，故为的极小值点，此时，又当时，；时，，故在上递减，在上递增。
而，所以在区间上的最小值为。
14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则
答案】解析】因为相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到得特征值是而是一个常数，是矩阵的对角元素之和，则
三、解答题：15－23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15）（本题满分9分）求极限。
解析】16）（本题满分10 分）
计算不定积分
解析】令得。
17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与。
解析】18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。
解析】解微分方程得其通解为任意常数。
又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得。
从而。于是，所求非负函数。
又由可得，在第一象限曲线表示为。
于是d围绕轴旋转所得旋转体的体积为，其中。
19）（本题满分10分）求二重积分，其中。
解析】由得，20）（本题满分12分）
设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足。求的表达式。
解析】由题意，当时，，即，得，又代入得，从而有。
当时，得的通解为
令解为，则有，得，故，得的通解为
由于是内的光滑曲线，故在处连续。
于是由，故时，在处连续。
又当时，有，得，当时，有，得
由得，即 故的表达式为或。
又过点，所以。
21）（本题满分11分）
ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得。
ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。
解析】（ⅰ作辅助函数，易验证满足：
在闭区间上连续，在开区间内可导，且。
根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即。
ⅱ）任取，则函数满足；
在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……
又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：
故存在，且。
22）（本题满分11分设，ⅰ）求满足的所有向量。
ⅱ）对（ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关。
解析】（ⅰ解方程。
故有一个自由变量，令，由解得，求特解，令，得。
故 ，其中为任意常数
解方程。故有两个自由变量，令，由得。
求特解故 ，其中为任意常数。
ⅱ）证明：由于。
故线性无关。
23）（本题满分11分）设二次型。
ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；
ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。
解析】（ⅰⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则。
1)若，则 ， 不符题意。
2)若 ，即，则，，符合。
3)若 ，即，则 ，，不符题意。
综上所述，故。
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