一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.
1.若函数在处连续,则。
a) (bc) (d)
详解】,,要使函数在处连续,必须满足.所以应该选(a)
2.设二阶可导函数满足,,且,则( )
ab) cd)
详解】注意到条件,则知道曲线在上都是凹的,根据凹凸性的定义,显然当时,,当时,,而且两个式子的等号不是处处成立,否则不满足二阶可导.所以.所以选择(b).
当然,如果在考场上,不用这么详细考虑,可以考虑代一个特殊函数,此时,可判断出选项(a),(c),(d)都是错误的,当然选择(b).希望同学们在复习基础知识的同时,掌握这种做选择题的技巧.
3.设数列收敛,则。
a)当时, (b)当时,
c)当时, (d)当时,
详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则,只有(d)是正确的.
其实此题注意,设,则。
分别解方程时,发现只有第四个方程有唯一解,也就是得到.
.微分方程的特解可设为( )
a) (b)
c) (d)
详解】微分方程的特征方程为,有一对共轭的复数根.
所以不是特征方程的根,所以对应方程的特解应该设为;
而是方程的单根,所以对应方程的特解应该设为;从而微分方程的特解可设为,应该选(c).
5.设具有一阶偏导数,且对任意的都有,则( )
ab)cd)
详解】由条件对任意的都有可知对于是单调增加的,对就单调减少的.所以,只有第三个不等式可得正确结论(d),应该选(d).
6.甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:米)处,如图中,实线表示甲的速度曲线(单位:米/秒),虚线表示乙的速度曲线(单位:
米/秒),三块阴影部分的面积分别为,计时开始后乙追上甲的时刻为,则( )
a) (b)
c) (d)
详解】由定积分的物理意义:当曲线表示变速直线运动的速度函数时,表示时刻内所走的路程.本题中的阴影面积分别表示在时间段内甲、乙两人所走路程之差,显然应该在时乙追上甲,应该选(c).
7.设为三阶矩阵,为可逆矩阵,使得,则( )
ab) (c) (d)
详解】显然这是矩阵相似对角化的题目.可知。
所以,所以可知选择(b).
8.已知矩阵,,,则
a)相似,相似 (b)相似,不相似。
c)不相似,相似 (d)不相似,不相似。
详解】矩阵的特征值都是.是否可对解化,只需要关心的情况.
对于矩阵,,秩等于1 ,也就是矩阵属于特征值存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是.
对于矩阵,,秩等于2 ,也就是矩阵属于特征值只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然不相似故选择(b).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分。 把答案填在题中横线上)
9.曲线的斜渐近线为 .
解:,,所以斜渐近线为.
10.设函数由参数方程确定,则。
详解】,所以.
详解】12.设函数具有一阶连续的偏导数,且已知,,则
详解】,所以,由,得,所以.
详解】交换二重积分的积分次序得:
14.设矩阵的一个特征向量为,则 .
详解】根据特征向量的定义,有。
解得.三、解答题。
15.(本题满分10分)
求极限。详解】令,则,
16.(本题满分10分)
设函数具有二阶连续偏导数,,求,.
详解】,;17.(本题满分10分)
求。详解】由定积分的定义。
18.(本题满分10分)
已知函数是由方程.
详解】在方程两边同时对求导,得。
在(1)两边同时对求导,得。
也就是。令,得.当时,;当时,
当时,,,函数取极大值;
当时,,函数取极小值.
19.(本题满分10分)
设函数在区间上具有二阶导数,且,,证明:
1)方程在区间至少存在一个实根;
2)方程在区间内至少存在两个不同实根.
证明:(1)根据的局部保号性的结论,由条件可知,存在,及,使得,由于在上连续,且,由零点定理,存在,使得,也就是方程在区间至少存在一个实根;
2)由条件可知,由(1)可知,由洛尔定理,存在,使得;
设,由条件可知在区间上可导,且,分别在区间上对函数使用尔定理,则存在使得,也就是方程在区间内至少存在两个不同实根.
20.(本题满分11分)
已知平面区域,计算二重积分。
详解】由于积分区域关于轴左右对称,所以由二重积分对称性可知.所以。
其中利用瓦列斯公式,知。
21.(本题满分11分)
设是区间上的可导函数,且.点是曲线上的任意一点,在点处的切线与轴相交于点,法线与轴相交于点.若,求上的点的坐标满足的方程.
详解】曲线过点的切线方程为,令,得;
曲线过点的法线方程为,令,得.
由条件,可得微分方程。
标准形为,是个一阶齐次型微分方程.
设,方程化为,整理,得。
分离变量,两边积分,得。
由初始条件,得,确定常数。
所以曲线的方程为.
22.(本题满分11分)
设三阶矩阵有三个不同的特征值,且。
1)证明:;
2)若,求方程组的通解.
详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以是非零矩阵,也就是.
假若时,则是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有,又因为,也就是线性相关,,也就只有.
2)因为,所以的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于,所以基础解系为;
又由,得非齐次方程组的特解可取为;
方程组的通解为,其中为任意常数.
23.(本题满分11分)
设二次型在正交变换下的标准形为,求的值及一个正交矩阵.
详解】二次型矩阵。
因为二次型的标准形为.也就说明矩阵有零特征值,所以,故。
令得矩阵的特征值为.
通过分别解方程组得矩阵的属于特征值的特征向量,属于特征值特征值的特征向量,的特征向量.
所以为所求正交矩阵.
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1.分析 根据等价无穷小量的定义,相当于已知,反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简。详解 当时,于是,根据题设有 故a 4.评注 本题属常规题型。2.分析 先求出在点 1,1 处的导数,然后利用点斜式写出切线方程即可。详解 等式两边直接对x求导,得。将x 1,y 1代...