2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学二试卷。
一、填空题(本题共6小题，请将答案写在题中横线上．)
1) 三阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=__
2) 曲线的渐近线方程为___
3)函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数___
4) 当0≤θ≤时，对数螺线r=eθ的弧长为___
5)已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm，w=5cm时，它的对角线增加的速率为___
6)设a，b为3阶矩阵，且|a|=3，|b|=2，|a-1+b|=2，则|a+b-1|=_
二、选择题(本题共8小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．)
7) 函数的无穷间断点数为。
a) 0． (b) 1． (c) 2． (d) 3．
8) 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程的两个特解．若常数λ，μ使该方程的解是对应的齐次方程的解，则。
9) 曲线y=x2与曲线y=aln x(a≠o)相切，则a=
a) 4e． (b) 3e． (c) 2e． (d) e．
10) 设m，n是正整数，则反常积分的收敛性。
a) 仅与m值有关． (b) 仅与n值有关．
c) 与m，n值都有关． (d) 与m，n值都无关．
11) 设函数z=z(x，y)由方程确定，其中f为可微函数，且。
a) x (b) z． (c) -x． (d)-z．
c) (d)
(14) 设a为4阶实对称矩阵，且a2+a=0，若a的秩为3，则a与相似于。
三、解答题(本题共9小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15) 求函数的单调区间与极值．
16) (比较的大小，说明理由；
ⅱ) 记，求极限。
17) 设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且φ(1)=
18) 一个高为j的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时(如图2)，计算油的质量．
长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为常数ρkg/m3)
19) 设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式，确定a，b的值，使等式在变换。
20) 计算二重积分。
21) 设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且。证明：存在f'(ξf'(η2+η2
22) 设。
已知线性方程组ax=b存在2个小同的解．
ⅰ) 求λ，a；
ⅱ) 求方程组ax=b的通解。
23) 设正交矩阵使得为对角矩阵，若q的第1例为
参考解答。一、填空题。
1) (2) y=2x (3) -2n·(n-1)!
4) (5) 3cm/s (6) 3
二、选择题。
7) b (8) a (9) c (10) d (11) b (12) d (13) a (14) d
三、解答题。
15) 分析：求变限积分f(x)的一阶导数，利用其符号判断极值并求单调区间．解。令。
因为当x＞1时当-1＜x＜0时时。
所以f(x)的单调递减区间为(-∞1)，(0，1)；f(x)的单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞极小值为f(1)=f(-1)=0，极大值为。
评注：也可用二阶导数的符号判断极值点，此题属基本题型．
16) 分析：对(ⅰ)比较被积函数的大小，对(ⅱ)用分部积分法计算积分，再用夹逼定理求极限。
解：(ⅰ当0≤t≤1时，0≤ln(1+t)≤t，故|lnt|[ln(1+t)]n≤|ln|．由积分性质得。
ⅱ) 于是有由夹逼定理得。
评注：若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息．
17) 分析：先求可得关于ψ(t)的微分方程，进而求出ψ(t)
解：由参数方程确定函数的求导公式可得。
评注：此题是参数方程确定函数的导数与微分方程相结合的一道综合题，有一定难度．
18) 分析：先求油的体积，实际只需求椭圆的部分面积．
解：建立如图3所示的直角坐标系，则油罐底面椭圆方程为。
油的质量m=ρv。其中油的体积v=s底·l．
故。评注：此题若不能记住公式则运算量稍显大．
19) 分析：利用复合函数的链导法则变形原等式即可．
解：由复合函数的链导法则得。
所以。因而。
解得。评注：此题主要考查复合函数链导法则的熟练运用，是对运算能力的考核。
20) 分析：化极坐标积分区域为直角坐标区域，相应的被积函数也化为直角坐标系下的表示形式，然后计算二重积分．
解：如图4，直角坐标系下，d=，所以。
21) 分析：这是一个双介值的证明题，构造辅助函数，用两次拉格朗日中值定理。
证明：两式相加得f'(ξf'(η2+η2
评注：一般来说，对双介值问题，若两个介值有关联同时用两次中值定理，若两个介值无关联时用一次中值定理后，再用一次中值定理．
22) 分析：本题考查方程组解的判定与通解的求法．由非齐次线性方程组存在2个不同解知对应齐次线性方程组有非零解，而且非齐次线性方程组有无穷多解．
解：(ⅰ解法一。
由线性方程组ax=b存在2个不同解，得λ=-1，a=-2．
解法二由线性方程组ax=b有2个不同的解，因此方程组的系数行列式。
得λ=1或-1；而当λ=1时，此时，ax=b无解，所以λ=-1．由。
ⅱ)当λ=-1，a=-2时，故方程组ax=b的通解为：为任意常数．
23) 分析：本题考查实对称矩阵的正交对角化问题．由q的列向量都是特征向量可得a的值以及对应的特征值，然后由a可求出其另外两个线性无关的特征向量，从而最终求出q．
解：记。得a=-1，λ=2，因此由得a的特征值为 λ1=2，λ2=-4，λ3=5，且对应于λ1=2的特征向量为。
当λ2=-4时，(-4e-a)
由(-4e-a)x=0得对应于λ2=-4的特征向量为 α2=(-1，0，1)t．
当λ3=5时，(5e-a)
由(5e-a)x=0得对应于λ3=5的特征向量为α3=(1，-1，1)t．
因a为实对称矩阵，α1，α2，α3为对应于不同特征值的特征向量，所以η1，η2，η3为单位正交向量组．令。
考研数学二真题2023年
2011年全国硕士研究生入学统一考试。数学二试题。一 选择题 下列每题给出的四个选项中。只有一个选项符合题目要求 1 已知当x 0时f x 3sinx sin3x与cxk是等价无穷小，则 a k 1，c 4 b k 1，c 4 c k 3，c 4 d k 3，c 4 2 已知f x 在x 0处可导，...
2023年考研数学二真题
一 填空题 本题共6小题，每小题4分，满分24分。把答案填在题中横线上 1 若时，与是等价无穷小，则a 2 设函数y f x 由方程所确定，则曲线y f x 在点 1,1 处的切线方程是。3 的麦克劳林公式中项的系数是 4 设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面...
考研数学二真题2023年
总分 150.00，做题时间 90分钟 一 选择题 总题数 8，分数 32.00 1.设 分数 4.00 2.已知函数则f x 的一个原函数是 a b c d 分数 4.00 a.b.c.d.3.反常积分 分数 4.00 a.收敛，收敛。b.收敛，发散。c.发散，收敛。d.发散，发散。4.设函数f ...