一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
．下列反常积分收敛的是（ ）
a） （b） （c） （d）
详解】当且仅当时才收敛，所以（a）是发散的；
b）是发散的；
c）是发散的；
事实上，对于（d），应该选（d）．
2．函数在内（ ）
a）连续 （b）有可去间断点（c）有跳跃间断点 （d）有无穷间断点。
详解】函数在处没有定义，而，所以应该选（b）．
3．设函数，若在处连续，则（ ）
a） （b）（c） （d）
详解】当时，，当时，要使函数在处可导，必须满足；
当时， 显然要使在处连续，必须满足，应该选（a）
4．设函数在上连续，其二阶导数的图形如右图所示，则曲线在的拐点个数为。
a）0b）1 （c）2d）3
详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（c）
5．设函数满足，则依次为（ ）
详解】设，则当时，．
由多元复合函数的求导法则有。
可解得所以应该选（d）
6．设d是第一象限中由曲线与直线所围成的平面区域，函数在d上连续，则（ ）
详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
也就是d：
所以，所以应该选（b）．
7．设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是。
ab）cd）
详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
方程组无穷解的充分必要条件是，也就是同时成立，当然应该选（d）．
8．设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若，则在下的标准形为。
ab）cd）
详解】， 所以。
故选择（a）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分。 把答案填在题中横线上）
9．设，则。详解】，
10．函数在处的阶导数。
详解】，所以由莱布尼兹公式可知。
所以。11．设函数连续，，若，则 ．
详解】， 所以．
12．设函数是微分方程的解，且在处取极值，则。
详解】的通解为，由条件处取极值可知。
13．若函数由方程确定，则。
详解】当时，，设，则。
在点处，，所以。
14．设三阶矩阵的特征值为，，其中为三阶单位矩阵，则行列式 ．
详解】矩阵b的三个特征值分别为，所以。
三、解答题。
15．（本题满分10分）设函数，在时为等价无穷小，求常数的取值．
详解】当时，把函数展开到三阶的马克劳林公式，得。
由于当时，是等价无穷小，则有，解得，
16．（本题满分10分）
设，d是由曲线弧及直线所围成的平面区域，分别表示d绕旋转一周所围成的旋转体的体积，若，求的值．
详解】平面区域d绕坐标轴旋转一周形成的旋转体的体积分别为：
由于，所以。
17．（本题满分10分）
已知满足，求的极值．
详解】由于所以。
由于则。所以。
由条件，可得。
从而可得。下面求函数的极值：
解方程组得函数的驻点．
在处，由于，所以在处取得极小值。
18．（本题满分10分）
计算二重积分，其中。
详解】由对称性可知，19．（本题满分10分）
已知，求的零点个数．
详解】显然函数的定义域为．
当时，令，则。
函数的导数：，令，得函数唯一驻点．
当时，，函数是单调减少的；当时，，函数是单调增加的；所以函数在取到最小值，且。
所以函数存在两个零点，分别位于．
20．（本题满分11分）
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为，物体在恒温介质中冷却，30分钟后该物体的温度降到．若要将物体的温度继续降至，还需要冷却多长时间？
详解】设物体在时刻时的温度为，则由题意可知。
满足， 解方程得通解为．
由初始条件确定，由确定．
也就是物体在时刻时的温度为．
令解得，也就是若要将物体的温度继续降至，还需要冷却30分钟．
21．（本题满分11分）
已知函数在区间上具有二阶导数，．设，曲线在点的切线与轴的交点是，证明：
详解】曲线在点的切线方程为。
令得切线与坐标轴的交点为，也就是．
由于所以，可得。
下面只需要证明，等价于．
令，则在上可导，且，所以在上单调增加，所以。
也就是，．所以。
22．（本题满分11分）
设矩阵，且．
1）求的值；
2）若矩阵满足，其中为三阶单位矩阵，求x．
详解】（１先计算ａ的行列式：，由于所以，可得，
２）由条件，可知。
所以。由于，23．（本题满分11分）
设矩阵相似于矩阵．
1）求的值；
2）求可逆矩阵，使为对角矩阵．
详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有，．
也就是．2）由，得a，b的特征值都为。
解方程组，得矩阵a的属于特征值的线性无关的特征向量为；
解方程组得矩阵a的属于特征值的线性无关的特征向量为。
令，则。
2024年考研数学二真题与解析
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1.分析 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简。详解 当时，于是，根据题设有 故a 4.评注 本题属常规题型。2.分析 先求出在点 1,1 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可。详解 等式两边直接对x求导，得。将x 1,y 1代...