二、问答：
8、地球自转一周的时间是一天；地球公转一周的时间是一年；月球公转一周的时间是农历一个月。
19、细胞也是生物最基本的功能单位，生物的呼吸、消化、排泄、生长、发育、繁殖、遗传等生命活动都是通过细胞进行的。
1、说说你身边物质变化的例子。
答：①可以节约能源；②减少对环境的污染；③降低成本。
年7月，美国的“阿波罗11号”载人飞船成功地在月球上着陆。
第二单元物质的变化。
答：无色无味，比空气重，不支持燃烧。
答：放大镜的中间厚，边缘薄，光线在透过放大镜时会产生折射，因此会把物图像放大。
1、放大镜为什么能放大物体的图像呢？我们注意到它的特点了吗？（p3）2024年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析。
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1））若函数在处连续，则（ ）
abcd)
答案】a解析】在处连续选a.
2）设二阶可导函数满足且，则（ ）
答案】b解析】
为偶函数时满足题设条件，此时，排除c,d.
取满足条件，则，选b.
3）设数列收敛，则（ ）
当时， 当时，
当时， 当时，
答案】d解析】特值法：（a）取，有，a错；
取，排除b,c.所以选d.
4）微分方程的特解可设为。
a） （b）
c） （d）
答案】a解析】特征方程为：
故特解为：选c.
5）设具有一阶偏导数，且对任意的，都有，则。
a）（b）（c）（d）
答案】c解析】是关于的单调递增函数，是关于的单调递减函数，所以有，故答案选d.
6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：
s），则（ ）
abcd）答案】b
解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则。
当时满足，故选c.
7）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ）
a） （b） （cd）
答案】 b解析】
因此b正确。
8）设矩阵，则（ ）
ab）cd）
答案】b解析】由可知a的特征值为2,2,1,因为，∴a可相似对角化，即。
由可知b特征值为2,2,1.
因为，∴b不可相似对角化，显然c可相似对角化，∴，但b不相似于c.
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
9) 曲线的斜渐近线方程为___
答案】解析】
(10) 设函数由参数方程确定，则___
答案】解析】
答案】1解析】
12) 设函数具有一阶连续偏导数，且，，则。
答案】解析】故。
因此，即，再由，可得。
答案】解析】
答案】.解析】交换积分次序：
14）设矩阵的一个特征向量为，则。
答案】-1解析】设，由题设知，故。
故。三、解答题：15—23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15）（本题满分10分）求极限。
答案】解析】，令，则有。
16）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，，求，
答案】解析】
结论：17）（本题满分10分）求。
答案】解析】
18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值。
答案】极大值为，极小值为。
解析】两边求导得：
令得。对（1）式两边关于x求导得2）
将代入原题给的等式中，得，将代入（2）得。
将代入（2）得。
故为极大值点，；为极小值点，
19）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明：
方程在区间内至少存在一个实根；
方程在区间内至少存在两个不同实根。
答案】解析】
i）二阶导数，
解：1）由于，根据极限的保号性得。
有，即。进而。
又由于二阶可导，所以在上必连续。
那么在上连续，由根据零点定理得：
至少存在一点，使，即得证。
ii）由（1）可知，，令，则。
由罗尔定理，则，对在分别使用罗尔定理：
且，使得，即。
在至少有两个不同实根。
得证。20）（本题满分11分）已知平面区域计算二重积分。
答案】解析】
21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且，点是曲线l: 上任意一点，l在点p处的切线与y轴相交于点，法线与x轴相交于点，若，求l上点的坐标满足的方程。
答案】解析】设的切线为，令得，法线，令得。由得，即。令，则，按照齐次微分方程的解法不难解出，22）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且。
证明： 若，求方程组的通解。
答案】（i）略；（ii）通解为。
解析】i）证明：由可得，即线性相关，因此，，即a的特征值必有0。
又因为a有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于a必可相似对角化，则可设其对角矩阵为。
ii）由（1），知，即的基础解系只有1个解向量，由可得，则的基础解系为，又，即，则的一个特解为，综上，的通解为。
23）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵。
答案】解析】
其中。由于经正交变换后，得到的标准形为，故，将代入，满足，因此符合题意，此时，则。
由，可得a的属于特征值-3的特征向量为；
由，可得a的属于特征值6的特征向量为。
由，可得a的属于特征值0的特征向量为。
令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：，则，
2024年考研数学二真题。
．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）
a） （b） （c） （d）
2．下列曲线有渐近线的是。
a） （b）（c） （d）
详解】对于，可知且，所以有斜渐近线。
应该选（c）
3．设函数具有二阶导数，，则在上（ ）
a）当时， （b）当时，
c）当时， （d）当时，
4．曲线上对应于的点处的曲率半径是（ ）
5．设函数，若，则（ ）
6．设在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ ）
（a）的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；
（b）的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；
（c）的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；
（d）的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．
7．行列式等于。
a） （b） （c） （d）
8．设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的。
a）必要而非充分条件b）充分而非必要条件。
c）充分必要条件d） 非充分非必要条件。
10．设为周期为4的可导奇函数，且，则。
11．设是由方程确定的函数，则。
12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为。
13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 ．
14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是。
15．（本题满分10分）
求极限．16．（本题满分10分）
已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．
17．（本题满分10分）
设平面区域．计算。
18．（本题满分10分）
设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．
19．（本题满分10分）
设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：
20．（本题满分11分）
设函数，定义函数列，
设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．
21．（本题满分11分）
已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．
22．（本题满分11分）
设，e为三阶单位矩阵．
1） 求方程组的一个基础解系；
2） 求满足的所有矩阵．
23．（本题满分11分）
证明阶矩阵与相似．
2024年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题。
一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1) 下列反常积分收敛的是 (
a) (b) (c) (d)
(2) 函数在内( )
a) 连续。
b) 有可去间断点。
c) 有跳跃间断点。
d) 有无穷间断点。
(3) 设函数，若在处连续则：(
abcd)
4)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为( )
a) (b) (c) (d)
(5) 设函数满足，则与依次是 (
a) (b) (c) (d)
6)设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( ab)
c) d)
(7) 设矩阵，.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 (
abcd)
(8) 设二次型在正交变换下的标准形为，其中，若则在正交变换下的标准形为( )
abcd)
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。
2024年考研数学二真题答案解析
1.分析 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简。详解 当时，于是，根据题设有 故a 4.评注 本题属常规题型。2.分析 先求出在点 1,1 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可。详解 等式两边直接对x求导，得。将x 1,y 1代...
2024年考研数学二真题与解析
page 11 of 14 一 选择题 1 8小题 每小题4分，共32分 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是 a b c d 详解 是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知。当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是 a b c d 详解 是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知。所以的可能...
2024年考研数学二真题与解析
一 选择题 1 8小题 每小题4分，共32分 下列反常积分收敛的是 a b c d 详解 当且仅当时才收敛，所以 a 是发散的 b 是发散的 c 是发散的 事实上，对于 d 应该选 d 2 函数在内 a 连续 b 有可去间断点 c 有跳跃间断点 d 有无穷间断点。详解 函数在处没有定义，而，所以应该...