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一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）
a） （b） （c） （d）
详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知。
．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）
a） （b） （c） （d）
详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知。
所以的可能取值范围是，应该选（b）．
2．下列曲线有渐近线的是。
a） （b）（c） （d）
详解】对于，可知且，所以有斜渐近线。
应该选（c）
3．设函数具有二阶导数，，则在上（ ）
a）当时， （b）当时，
c）当时， （d）当时，
分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然就是联接两点的直线方程．故当时，曲线是凹的，也就是，应该选（d）
详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（d）
4．曲线上对应于的点处的曲率半径是（ ）
详解】 曲线在点处的曲率公式，曲率半径．
本题中，所以，对应于的点处，所以，曲率半径．
应该选（c）
5．设函数，若，则（ ）
详解】注意（1），（2）．
由于．所以可知，6．设在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ ）
（a）的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；
（b）的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；
（c）的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；
（d）的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．
详解】在平面有界闭区域d上连续，所以在d内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上．
所以应该选（a）．
7．行列式等于。
a） （b） （c） （d）
详解】应该选（b）．
8．设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的。
a）必要而非充分条件b）充分而非必要条件。
c）充分必要条件d） 非充分非必要条件。
详解】若向量线性无关，则，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．
而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（a）．
详解】．10．设为周期为4的可导奇函数，且，则。
详解】当时，，由可知，即；为周期为4奇函数，故．
11．设是由方程确定的函数，则。
详解】设，，当时，，，所以．
12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为。
详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，，，则在点处的切线方程为，即。
13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 ．
详解】质心坐标．
14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是。
详解】由配方法可知。
由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．
15．（本题满分10分）
求极限．分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
详解】16．（本题满分10分）
已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．
详解】解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：，由得，即．
令，得，且可知；
当时，可解得，，函数取得极大值；
当时，可解得，，函数取得极小值．
17．（本题满分10分）
设平面区域．计算。
详解】由对称性可得。
18．（本题满分10分）
设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．
详解】设，则，由条件，可知。
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
其中为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为．
故非齐次方程通解为．
将初始条件代入，可得．
所以的表达式为．
19．（本题满分10分）
设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：
详解】1）证明：因为，所以．
即．2）令，则可知，且，因为且单调增加，所以．从而。
也是在单调增加，则，即得到。
20．（本题满分11分）
设函数，定义函数列，
设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．
详解】，利用数学归纳法可得。
21．（本题满分11分）
已知函数满足，且，求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．
详解】由于函数满足，所以，其中为待定的连续函数．
又因为，从而可知，得到．
令，可得．且当时，．
曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为。
22．（本题满分11分）
设，e为三阶单位矩阵．
1） 求方程组的一个基础解系；
2） 求满足的所有矩阵．
详解】（1）对系数矩阵a进行初等行变换如下：
得到方程组同解方程组。
得到的一个基础解系．
2）显然b矩阵是一个矩阵，设。
对矩阵进行进行初等行变换如下：
由方程组可得矩阵b对应的三列分别为，即满足的所有矩阵为。
其中为任意常数．
23．（本题满分11分）
证明阶矩阵与相似．
详解】证明：设， ．
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
所以a的个特征值为；
而且a是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且；
所以b的个特征值也为；
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软件截图：对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵b对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵b存在个线性无关的特征向量，即矩阵b一定可以对角化，且。
从而可知阶矩阵与相似．
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一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）
a） （b） （c） （d）
详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知。
2023年考研数学二真题与解析
一 选择题 1 8小题 每小题4分，共32分 下列反常积分收敛的是 a b c d 详解 当且仅当时才收敛，所以 a 是发散的 b 是发散的 c 是发散的 事实上，对于 d 应该选 d 2 函数在内 a 连续 b 有可去间断点 c 有跳跃间断点 d 有无穷间断点。详解 函数在处没有定义，而，所以应该...
2023年考研数学二真题与解析
一 选择题 1 8小题 每小题4分，共32分 1 若函数在处连续，则。a bc d 详解 要使函数在处连续，必须满足 所以应该选 a 2 设二阶可导函数满足，且，则 ab cd 详解 注意到条件，则知道曲线在上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当时，当时，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶...
2023年考研数学二真题答案解析
1.分析 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简。详解 当时，于是，根据题设有 故a 4.评注 本题属常规题型。2.分析 先求出在点 1,1 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可。详解 等式两边直接对x求导，得。将x 1,y 1代...