2023年考研数学二真题

发布 2020-02-16 10:28:28 阅读 7150

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分。 把答案填在题中横线上)

1) 若时, 与是等价无穷小,则a

2) 设函数y=f(x)由方程所确定,则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是。

3)的麦克劳林公式中项的系数是 .

4) 设曲线的极坐标方程为,则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .

5) 设为3维列向量,是的转置。 若,则。

6) 设三阶方阵a,b满足,其中e为三阶单位矩阵,若,则 .

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分。 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

1)设均为非负数列,且, ,则必有 [

a)对任意n成立b)对任意n成立。

c) 极限不存在d) 极限不存在。

2)设, 则极限等于 [

(ab) .

(cd3)已知是微分方程的解,则的表达式为 [

(a) (b) (cd

4)设函数f(x)在内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有 [

a) 一个极小值点和两个极大值点。

b) 两个极小值点和一个极大值点。

c) 两个极小值点和两个极大值点。

d) 三个极小值点和一个极大值点。yox

5)设, ,则 [

(ab) cd

6)设向量组:可由向量组:线性表示,则 [

(a) 当时,向量组必线性相关。 (b) 当时,向量组必线性相关。

(c) 当时,向量组必线性相关。 (d) 当时,向量组必线性相关。

三 、(本题满分10分)

设函数 问a为何值时,f(x)在x=0处连续;a为何值时,x=0是f(x)的可去间断点?

四 、(本题满分9分)

设函数y=y(x)由参数方程所确定,求。

五 、(本题满分9分)

计算不定积分

六 、(本题满分12分)

设函数y=y(x)在内具有二阶导数,且是y=y(x)的反函数。

1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程;

2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解。

七 、(本题满分12分)

讨论曲线与的交点个数。

八 、(本题满分12分)

设位于第一象限的曲线过点,其上任一点处的法线与轴的交点为,且线段被轴平分。

一、 求曲线的方程;

二、 已知曲线在上的弧长为,试用表示曲线的弧长。

九 、(本题满分10分)

有一平底容器,其内侧壁是由曲线绕y

轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2 m.

根据设计要求,当以的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以的速率均匀扩大(假设注入液体前。

容器内无液体).

1) 根据t时刻液面的面积,写出t与之间的关系式;

2) 求曲线的方程。

注:m表示长度单位米,min表示时间单位分。)

十 、(本题满分10分)

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且若极限存在,证明:

3)在(a,b)内f(x)>0;

4)在(a,b)内存在点,使。

3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点,使。

十一、(本题满分10分)

若矩阵相似于对角阵,试确定常数a的值;并求可逆矩阵p使

十二 、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为,.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为。

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