2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学二试题。
一、选择题：下列每题给出的四个选项中。只有一个选项符合题目要求．
1) 已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则( )
a) k=1，c=4 (b) k=1，c=-4
c) k=3，c=4 (d) k=3，c=-4
2) 已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0．则=(
a) -2f'(0) (b) -f'(0)
c) f'(0) (d) 0
3) 函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的驻点个数为( )
a) 0 (b) 1
c) 2 (d) 3
4) 微分方程y"-λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为( )
a) a(eλx+e-λx) (b) ax(eλx+e-λx)
c) x(aeλx+be-λx) (d) x2(aeλx+be-λx)
5) 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0．则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )
a) f"(0)＜0，g"(0)＞0 (b) f"(0)＜0，g"(0)＜0
c) f"(0)＞0，g"(0)＞0 (d) f"(0)＞0，g"(0)＜0
6) 设．则i，j，k的大小关系是( )
a) i＜j＜k (b) i＜k＜j
c) j＜i＜k (d) k＜j＜i
7) 设a为三阶矩阵，将a的第2列加到第1列得矩阵b．再交换b的第2行与第3行得单位矩阵，记，则a=(
a) p1p2 (b)
c) p2p1 (d)
8) 设a=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，a*为a的伴随矩阵，若(1，0，1，0)是方程组ax=0的一个基础解系，则a*x=0的基础解系可为( )
a) α1，α3 (b) α1，α2
c) α1，α2，α3 (d) α2，α3，α4
二、填空题。
10) 微分方程y'+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=__
11) 曲线的弧长s=__
12) 设函数则=__
13) 设平面区域d由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所组成，则二重积分=__
14) 二次型f(x1，x2，x3)=，则f的正惯性指数为___
三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15) 已知函数．设，试求α的取值范围．
16) 设函数y=y(x)由参数方程确定，求y=y(x)的极值和曲线y=y(x)，的凹凸区间及拐点．
17) 设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1，求。
18) 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)外切线的倾角，若．求y(x)的表达式．
19) ①证明：对任意的正整数n，都有成立．
设(n=1，2，…)证明数列0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分。
22) 设向量组α1=(1，0，1)t，α2=(0，1，1)t，α3=(1，3，5)t，不能由向量组β1=(1，1，1)t，β2=(1，2，3)t，β3=(3，4，a)t线性表示。
ⅰ) 求a的值；
ⅱ) 将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．
23) 设a为三阶实矩阵，a的秩为2，且。
ⅰ) 求a的特征值与特征向量；
ⅱ) 求矩阵a．
2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学二试题解析。
一、选择题。
1)[考点] 无穷量的比较。
答案解析] 因为，所以f(x)=4x3+o(x3)～4x3，于是c=4，k=3，故选(c)．
2)[考点] 导数的定义。
答案解析] ，故选(b)．
3)[考点] 确定f'(x)的零点个数。
答案解析] 求出f'(x)：
由判别式122-4×3×11=12＞0，3x2-12x+11有两个零点(不是x=1，x=2，x=3)，因此f(x)有两个驻点．故选(c)．
4)[考点] 微分方程的求解。
答案解析] 原方程对应的齐次方程的特征方程y2-λ2=0，解得y1=λ y2=-λ则。
y"-λ2y=eλx的特解y1=xeλxc1
y"-λ2y=eλx的特解y2=xe-λxc2
故原方程的特解 y=x(c1eλx+c2e-λx) 故选(c)．
5)[考点] 利用导数求函数的极值。
答案解析] z=f(x)g(y)
在(0，0)点，a=f"(0)g(0)b=f'(0)g'(0)=0 c=f(0)g"(0)
ac-b2＞0且a＞0f"(0)＜0，g"(0)＞0故选(a)．
6)[考点] 定积分的计算。
答案解析] sinx＜eosx＜1＜cotx 则。
lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx
故。即 i＜k＜j 故选(b)．
7)[考点] 矩阵的初等变换。
答案解析] 显然p2ap1=e，，因为，所以，故选(d)．
8)[考点] 线性方程组的基础解系。
答案解析] 因为ax=0基础解系含一个线性无关的解向量，所以r(a)=3，于是r(a*)=1，故a*x=0基础解系含3个线性无关的解向量，又a*a=|a|e=0且r(a)=3，所以a的列向量组中含a*x=0的基础解系，因为(1，0，1，0)t是方程组ax=0的基础解系，所以α1+α3=0，故α1，α2，α4或α2，α3，α4线性无关，显然α2，α3，α4为a*x=0的一个基础解系，故选(d)．
考点] 极限的计算。
答案解析]
10) e-xsinx
考点] 一阶微分方程求解。
答案解析]
c+sinx)，由于y(0)=0，则c=0，故y=e-xsinx．
考点] 曲线积分的计算。
答案解析]
考点] 反常积分计算。
答案解析]
考点] 二重积分的计算。
答案解析]
考点] 二次型。
答案解析]
特征值λ1=0，λ2=1，λ3=4，f惯性指数为2．
三、解答题。
15) [考点] 极限的逆问题。
答案解析] 当a=0时，因为，所以结论不正确；
当a＜0时，因为，所以结论也不正确；
当a＞0时，所以a＜3，于是1＜a＜3．
16)[考点] 利用导数求函数的凹凸区间及拐点。
答案解析]
当t=1时，因为，所以当t=-1即x=-1时，函数取极大值y=1．
当t=1时，因为，所以当t=1即时，函数取极小值．
令得t=0，当t＜0时，，当t＞0时。
当t＜0时即时，函数为凸函数，当t＞0即时，函数为凹函数．
17)[考点] 二元函数求偏导。
答案解析] 由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1，所以g'(1)=0．
18)[考点] 利用导数求曲线的切线。
答案解析] ，两边对x得。
即(1+y'2)y'=y"，于是有。
令y'=p，则，于是有，变量分离得。
两边积分得。
由p(0)=1
得，代入得。
解出由y(0)=0．
面积分得：19)[考点] 数列与积分中值定理综合题。
答案解析] 证明：①f(x)=ln(1+x)在应用中值定理。
其中。其中。
易知an+1-an＜0，则an+1＜an即单调递减。
又。所以单调递减有界，故收敛．
20)[考点] 积分的应用。
答案解析] (
21)[考点] 二重积分的计算。
答案解析]
于是。22)[考点] 向量的线性相关性。
答案解析] (因为，所以r(α1，α2，α3)=3
又因为α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表示，所以r(β1，β2，β3)＜3，于是|β1，β2，β3|=0，解得a=5．
于是。23)[考点] 矩阵的特征值、特征向量。
答案解析] (易知特征值-1对应的特征向量为特征值1对应的特征向量为，由r(a)=2知a的另一个特征值为0．因为实对称矩阵不同特征值得特特向量正交，从而特征值0对应的特征向量为故矩阵a的特征值为1，-1，0；特征值向量依次为k1(1，0，1)t，k2(1，0，-1)t，k3(0，1，0)t，其中k1，k2，k3均是不为o的任意常数．
ⅱ) 由。得。
考研数学二真题2023年
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考研数学二真题2023年
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