新东方2023年第三次模拟考试数学（三）试卷。
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1）设时，与是同阶无穷小，则为（ ）
a．1b. 2c. 3d. 4
2）设函数在的某领域内四阶可导，，则。
a．必是的一个极大值b．必是的一个极小值。
c．必是的一个极大值d．必是的一个极小值。
3）若，则积分（ ）
a．0b．
c．是发散的反常积分d．是收敛的反常积分。
（4）以函数为通解的差分方程是。
ab、cd、
5）设是矩阵，其秩为，是与均正交的两个不同的维列向量， 是任意常数 ，那么的通解为。
ab、cd、
6）已知是三阶矩阵，，则是的特征值，其特征值的重数（ ）
a．必是二重b. 可能二重，三重。
c．可能一重，二重d. 一重，二重，三重都可能。
7）在某大学随机地找10个本科生，设其中有x位男生，y位女生，则x与y的相关系数为（）
a）1b）c）0d）0.5
8）设随机变量x，y均服从标准正态，则以下正确的是（）
a）服从正态分布b）服从分布。
c）与都服从分布d）服从f分布。
二、填空题（本小题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
10） 设连续，且，则。
11） 设，则。
12）某银行可以用的年利率向外贷出任意数量的贷款，而吸纳的存款额则正比于存款年利率的平方，要使银行获利最大，存款年利率应定为。
13）设，，则。
14）设随机变量x和y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而x与y的相关系数为（-0.5），则根据切比雪夫不等式。
三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15）（本题满分10分）
设函数在闭区间上连续，在开区间内大于零，并满足（为常数），又曲线与所围成的图形的面积为2，求函数，并问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最小。
16）（本题满分10分）
设在上连续，在内二阶可导，，，求证：
1）在内至少有一点，使得。
2）在内至少有一点，，使得。
17）（本题满分10分））
计算其中 18）（本题满分10分）
设求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。
19）（本题满分11分）
函数满足试求出函数的表达式。
20）（本题满分11分）
已知是三阶方阵，是线性无关的3维列向量，满足，，。试求。
1）矩阵的特征值。
2）矩阵的特征向量。
3）矩阵的秩。
21）（本题满分11分）
二次型经正交变换化为标准型。
ⅰ）求的值及所用正交变换；
（ⅱ）若二次型正定，求的值。
22）（本题满分11分）
设二维随机变量（x，y）的概率密度函数为
1） 求关于x，y的边缘密度，；
2） 求的概率密度；
3） 求的值。
23）（本小题满分10分）
设总体的概率密度为。
其中是未知参数，从总体中抽取样本值如下：
求：（ⅰ的矩估计值；
（ⅱ）的最大似然估计值。
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